\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- חבילות בסיסיות --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2.5cm, bottom=3.5cm, top=2.5cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usepackage{enumitem} % --- הגדרת צבע אדום-יין --- \definecolor{winered}{RGB}{142, 36, 48} % --- הגדרות שפה (עברית) --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} % --- הגדרת כותרת תחתונה (זכויות יוצרים) --- \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \cfoot{\footnotesize כל הזכויות שמורות ל-גיא קורן, אין להעתיק, לפרסם, את המסמך הזה או חלק ממנו ללא אישור בכתב.} \lfoot{\thepage} % --- הגדרת ריווח 1.5 בין שורות --- \linespread{1.5} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{5 יח"ל - שאלון 571 - חורף 2026} \\[0.2cm] \large \textbf{כולל פתרונות} \end{center} \vspace{1cm} % ========================================== % פרק ראשון % ========================================== \section*{פרק ראשון} ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם. \textbf{א.} בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. \\ דרך הנקודות E ו־A שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה K. \\ הקטע KO חותך את המעגל בנקודה B. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[thick] (0,0) circle (2); \fill (0,0) circle (2pt) node[right] {O}; \coordinate (E) at (-2,0); \coordinate (A) at (0,-2); \coordinate (K) at (-2,-2); \fill (E) circle (2pt) node[left] {E}; \fill (A) circle (2pt) node[below] {A}; \fill (K) circle (2pt) node[below left] {K}; \draw[thick] (E) -- (K) -- (A); \draw[thick] (O) -- (E); \draw[thick] (O) -- (A); \draw[dashed, thick] (K) -- (O); \coordinate (B) at (-1.414, -1.414); \fill (B) circle (2pt) node[above left] {B}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOB משטח המשולש AKB. \item[(2)] נתון כי שטח המשולש AOB הוא 25. מצאו את אורך הגובה לצלע AK במשולש AKB. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{ב.} בתחרות שחמט, שני שחקנים - יאיר ונדב - מתחרים זה נגד זה. \\ כל משחק יכול להסתיים באחת מ־3 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. \\ בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 2 מן ההסתברות שנדב ינצח. \\ נסמן ב־$ p $ את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. يאיר ונדב משחקים שני משחקים. \begin{enumerate} \item[(1)] הביעו באמצעות $ p $ את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות. \item[(2)] ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא $\frac{1}{55}$. קבעו איזו מן האפשרויות III-I שלפניכם מתאימה לערך של $ p $. נמקו את קביעתכם. \begin{itemize} \item[I.] $\frac{1}{8}$ \item[II.] $\frac{9}{25}$ \item[III.] $\frac{3}{10}$ \end{itemize} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{ג.} נתונה הפונקצייה $$ \Large {\color{winered} f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + 2\sqrt{64 - x^2} } $$ \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \item[(2)] אחד מן הגרפים IV-I שלפניכם מתאר את הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם. \end{enumerate} \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tabular}{cc} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4,0) parabola bend (0,3) (4,0); \node at (0,-2) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4,1) parabola bend (-2,3) (-1,0); \draw[thick, winered] (1,0) parabola bend (2,3) (4,1); \node at (0,-2) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4,3) parabola bend (-2,1) (-1,3); \draw[thick, winered] (1,3) parabola bend (2,1) (4,3); \node at (0,-2) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4,3) parabola bend (-2,0) (-1,1); \draw[thick, winered] (1,1) parabola bend (2,0) (4,3); \node at (0,-2) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{ד.} נתונה סדרה אין סופית שאיבריה מקיימים $$ \Large {\color{winered} a_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{3 \cdot 2^n} } $$ לכל n טבעי. \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ${\large \color{winered} a_n }$. \item[(2)] הוכיחו כי הסדרה ${\large \color{winered} a_n }$ היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה. \item[(3)] מצאו את סכום הסדרה ${\large \color{winered} a_n }$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 2 % ========================================== \section*{שאלה 2} ${\large \color{winered} a_n }$ היא סדרה הנדסית אין סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $ q $. \\ נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה. \\ נתון: $ \frac{T^2}{R^2} = 25 $. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $ q $. \end{enumerate} נתונה סדרה שאיבריה מקיימים $$ \Large {\color{winered} b_n = \frac{1+q}{a_n \cdot a_{n+1}} } $$ לכל n טבעי. נתון גם כי $ b_1 = 1 $. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $ a_1 $. \item הביעו באמצעות n את ${\large \color{winered} b_n }$. \item הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים: $$ \Large {\color{winered} b_1 + b_2 + ... + b_n = \frac{25^n - 1}{24} } $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 3 % ========================================== \section*{שאלה 3} בשכבה י"א של תיכון עירוני גדול חלק מן התלמידים הם מדריכים בתנועת נוער והשאר אינם מדריכים. \\ בשכבה זו לחלק מן התלמידים יש רישיון נהיגה ולשאר אין רישיון נהיגה. \\ חצי מן התלמידים שיש להם רישיון נהיגה הם מדריכים בתנועת נוער. \\ אחוז התלמידים המדריכים מבין התלמידים שיש להם רישיון שווה לאחוז התלמידים שאין להם רישיון מבין התלמידים המדריכים. בוחרים באקראי תלמיד מבין תלמידי השכבה. ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא מדריך או שיש לו רישיון היא 0.36. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים. \item בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך? \end{enumerate} בוחרים באקראי 5 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד? \item ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 4 % ========================================== \section*{שאלה 4} בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית ABC החסום במעגל. \\ הנקודה K נמצאת על המשך הצלע AB כך שמתקיים $ AB=BK $. \\ המשך הקטע KC חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה F. \\ נתון: $ \angle BAC = \angle BCA $. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[thick] (0,0) circle (2); \coordinate (A) at (-1.4, 1.42); \coordinate (B) at (1, 1.73); \coordinate (K) at (3.4, 2.04); \coordinate (C) at (1.8, -0.87); \coordinate (F) at (0.2, -1.98); \draw[thick] (A) -- (K) -- (C) -- (A); \draw[thick] (B) -- (C) -- (F) -- (B); \fill (A) circle (2pt) node[above left] {A}; \fill (B) circle (2pt) node[above right] {B}; \fill (K) circle (2pt) node[right] {K}; \fill (C) circle (2pt) node[right] {C}; \fill (F) circle (2pt) node[below right] {F}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הוכיחו כי AF הוא קוטר במעגל. \item המיתרים BF ו־AC נחתכים בנקודה D. הוכיחו כי המשולש ADK הוא שווה שוקיים. \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item הוכיחו כי המרובע BDCK הוא בר חסימה במעגל. \item הוכיחו כי $ \angle DKC = \angle FAC $. \end{enumerate} \item הוכיחו כי $ AC \cdot AD = KC \cdot AF $. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 5 % ========================================== \section*{שאלה 5} בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD ($ AB=AD $, $ CB=CD $). \\ נתון: $ 0^\circ < \alpha < 45^\circ $, $ \angle BAD = \angle CDB = \alpha $. \\ $ AB = k $. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (A) at (0,-3); \coordinate (C) at (0,3); \coordinate (B) at (-2,1); \coordinate (D) at (2,1); \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw[thick] (B) -- (D); \coordinate (E) at (4,-3); \draw[dashed, thick] (D) -- (E); \draw[dashed, thick] (A) -- (E); \fill (A) circle (2pt) node[below] {A}; \fill (B) circle (2pt) node[left] {B}; \fill (C) circle (2pt) node[above] {C}; \fill (D) circle (2pt) node[right] {D}; \fill (E) circle (2pt) node[below] {E}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item הביעו באמצעות k ו־$\alpha$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB. \item נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי $ \frac{4}{3} $ מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB. מצאו את גודל הזווית BAD. \item הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD. \\ דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל ל־BD וחותך את המשך הצלע CD בנקודה E. \\ נתון כי שטח המשולש AOE הוא 54. מצאו את הערך של k. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 6 % ========================================== \section*{שאלה 6} נתונה הפונקצייה $$ \Large {\color{winered} f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 - kx}}{x^3} } $$ $ k $ הוא פרמטר חיובי. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item הביעו באמצעות k את תחום ההגדרה של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \item נתונה הפונקצייה ${\large \color{winered} h(x) = -f(x) }$. שיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$ עם גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} h(x) }$ הוא 2.4. מצאו את הערך של k. \end{enumerate} הציבו $ k=12 $ בפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$, וענו על הסעיפים ג-ו. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$, וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item נתונה הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) = (f(x))^2 }$ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$. \item a הוא פרמטר גדול מ־3. האם ערך הביטוי $\int_a^{a+1} {\color{winered} g(x) } dx$ שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי $\int_a^{a+1} {\color{winered} f(x) } dx$? נמקו את תשובתכם. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$, על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים $ x=3 $ ו־$ x=6 $. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 7 % ========================================== \section*{שאלה 7} נתונה הפונקצייה $$ \Large {\color{winered} f(x) = (\sin x)^2 + \cos x - 1 } $$ המוגדרת בתחום $ -\pi \le x \le \pi $. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item הוכיחו כי הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$ היא זוגית. \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$ עם ציר ה־x. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$, וקבעו את סוגן. \end{enumerate} \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} נתונה הפונקצייה $$ \Large {\color{winered} g(x) = \frac{1}{f(x) + b} } $$ b הוא פרמטר. נתון כי לפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$ יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות בתחום. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item כתבו שני ערכים אפשריים של b, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. \end{enumerate} הציבו בפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$ את הערך השלילי של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ה-ו. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5, itemsep=0.4cm, leftmargin=*] \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$, וקבעו את סוגן. \end{enumerate} \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה ${\large \color{winered} g(x) }$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 8 % ========================================== \section*{שאלה 8} נתונה הפונקצייה $$ \Large {\color{winered} f(x) = kx^3 - 3x^2 + 0.5kx } $$ המוגדרת לכל x. \\ k הוא פרמטר שונה מ־0. \\ הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקצייה ${\large \color{winered} f(x) }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה A. \item נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k. \item דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה־y החותך אותו בנקודה C. \\ נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC. \\ מצאו את הערך של k שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם). \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרונות % ========================================== \begin{center} \LARGE \textbf{פתרונות מפורטים} \end{center} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 1 --- \textbf{פתרון שאלה 1:} \begin{enumerate} \item[\textbf{א.}] \begin{enumerate} \item[(1)] משיקים למעגל בנקודות E ו־A מאונכים לרדיוסים בנקודות ההשקה, לכן $\angle OEK = 90^\circ$ ו־$\angle OAK = 90^\circ$. נתון גם שהמשיקים מאונכים זה לזה, כלומר $\angle EKA = 90^\circ$. מרובע שיש בו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן, וכיוון ששתי צלעות סמוכות שוות (רדיוסים $OE = OA = R$), המרובע OEKA הוא \textbf{ריבוע}. אורך אלכסון הריבוע $OK$ הוא $\sqrt{R^2+R^2} = \sqrt{2}R$. הנקודה B נמצאת על המעגל, לכן $OB = R$. מכאן שאורך הקטע KB הוא: $KB = OK - OB = \sqrt{2}R - R = R(\sqrt{2}-1)$. המשולשים $\triangle AOB$ ו־$\triangle AKB$ חולקים את אותו הגובה היורד מקודקוד A לצלע OK. לכן יחס שטחיהם שווה ליחס בסיסיהם: $$ \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AKB}} = \frac{OB}{KB} = \frac{R}{R(\sqrt{2}-1)} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} $$ לאחר הכפלה בצמוד, יחס השטחים הוא $\sqrt{2}+1 \approx 2.41$. \item[(2)] שטח המשולש $\triangle AOB$ הוא 25. שטח $\triangle OAK$ (מחצית הריבוע) הוא $\frac{R^2}{2}$. האלכסון חוצה את הזווית ולכן $\angle AOB = 45^\circ$. $$ S_{\triangle AOB} = \frac{OA \cdot OB \cdot \sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2}R^2}{4} = 25 \implies R^2 = 50\sqrt{2} $$ שטח המשולש $\triangle AKB$ שווה לשטח $\triangle OAK$ פחות 25: $$ S_{\triangle AKB} = \frac{50\sqrt{2}}{2} - 25 = 25(\sqrt{2}-1) $$ הגובה לצלע AK (שאורכה R): $$ \frac{R \cdot h}{2} = 25(\sqrt{2}-1) \implies h = \frac{50(\sqrt{2}-1)}{R} \approx 2.462 $$ \end{enumerate} \item[\textbf{ב.}] \begin{enumerate} \item[(1)] ההסתברויות: ניצחון נדב: $p$. ניצחון יאיר: $2p$. תיקו: $1 - 3p$. ההסתברות שאחד השחקנים ינצח בשני המשחקים: $$ P(\text{2 wins}) = (2p)^2 + (p)^2 = 5p^2 $$ \item[(2)] המאורע "שום שחקן לא השיג שני ניצחונות" הוא המשלים: $1 - 5p^2$. ההסתברות ששני המשחקים הסתיימו בתיקו היא $(1-3p)^2$. לפי הנוסחה להסתברות מותנית: $$ \frac{(1-3p)^2}{1-5p^2} = \frac{1}{55} $$ $$ 55(1 - 6p + 9p^2) = 1 - 5p^2 \implies 500p^2 - 330p + 54 = 0 $$ הפתרונות הם $p = \frac{9}{25} = 0.36$ ו־$p = \frac{3}{10} = 0.3$. אם $p = 0.36$, ההסתברות לניצחון של יאיר תהיה $2p = 0.72$. סכום ההסתברויות $0.36 + 0.72 = 1.08 > 1$, בלתי אפשרי. לכן $p = \frac{3}{10}$. האפשרות המתאימה היא \textbf{III}. \end{enumerate} \item[\textbf{ג.}] \begin{enumerate} \item[(1)] תחום ההגדרה דורש ביטויים אי-שליליים בשורשים: \\ $x^2 - 4 \ge 0 \implies x \ge 2$ או $x \le -2$. \\ $64 - x^2 \ge 0 \implies -8 \le x \le 8$. \\ החיתוך: $-8 \le x \le -2$ או $2 \le x \le 8$. \item[(2)] הגרף המתאים הוא \textbf{גרף II}. הפונקצייה מוגדרת בשני קטעים מופרדים. ב־$x=8$ הפונקצייה שווה ל-$\sqrt{60} \approx 7.74$. ב־$x=2$ הפונקצייה שווה ל-$2\sqrt{60} \approx 15.49$. החלקים הפנימיים גבוהים מהחיצוניים, כפי שרואים בגרף II. \end{enumerate} \item[\textbf{ד.}] \begin{enumerate} \item[(1)] הצבת 1, 2, 3: $$ a_1 = \frac{\cos(2\pi)}{6} = \frac{1}{6} \quad,\quad a_2 = \frac{\cos(4\pi)}{12} = \frac{1}{12} \quad,\quad a_3 = \frac{\cos(8\pi)}{24} = \frac{1}{24} $$ \item[(2)] מכיוון ש-$2^n$ זוגי, אזי $\cos(\pi \cdot 2^n) = 1$. לכן ${\large \color{winered} a_n = \frac{1}{3 \cdot 2^n} }$. היחס בין איברים עוקבים: $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} $. היחס קבוע, לכן הסדרה הנדסית ומנתה $q = \frac{1}{2}$. \item[(3)] זו סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. סכומה: $ S = \frac{1/6}{1-1/2} = \frac{1}{3} $. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 2:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item סכום המקומות האי-זוגיים הוא $T = \frac{a_1}{1-q^2}$. סכום הזוגיים הוא $R = \frac{a_1q}{1-q^2}$. מכאן ש־$\frac{T}{R} = \frac{1}{q}$. נתון $\frac{T^2}{R^2} = 25 \implies \frac{1}{q^2} = 25 \implies q^2 = \frac{1}{25}$. כיוון שמדובר בסדרה יורדת מתכנסת, $0 < q < 1$, ולכן $q = \frac{1}{5}$. \item נתון ${\large \color{winered} b_n = \frac{1+q}{a_n a_{n+1}} }$ ו־$b_1=1$. נציב $n=1$ ו־$q=0.2$: $$ b_1 = \frac{1.2}{a_1^2 \cdot 0.2} = \frac{6}{a_1^2} = 1 \implies a_1 = \sqrt{6} $$ \item נציב את הנתונים באיבר הכללי של $b_n$: $$ {\large \color{winered} b_n = \frac{1.2}{a_1 q^{n-1} \cdot a_1 q^n} = \frac{1.2}{6 \cdot (0.2)^{2n-1}} = (0.2)^{1 - (2n-1)} = (0.2)^{2-2n} = 5^{2n-2} } $$ \item נוכיח שסכום הסדרה הוא גיאומטרי. $b_1 = 1$, ומנת הסדרה היא $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 5^2 = 25$. סכום סדרה הנדסית: $$ S_n = 1 \cdot \frac{25^n - 1}{25 - 1} = \frac{25^n - 1}{24} $$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 3:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item נסמן: A - יש רישיון, B - מדריך. חצי מבעלי הרישיון מדריכים: $P(B|A) = 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.5P(A)$. אחוז המדריכים מבעלי רישיון שווה לאחוז חסרי הרישיון מבין המדריכים: $$ P(B|A) = P(\overline{A}|B) \implies 0.5 = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} \implies P(\overline{A} \cap B) = 0.5P(B) $$ נחבר חיתוכים: $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0.5P(A) + 0.5P(B) \implies P(A) = P(B)$. ההסתברות למדריך או רישיון היא 0.36: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.36 $$ $$ P(A) + P(A) - 0.5P(A) = 0.36 \implies 1.5P(A) = 0.36 \implies P(A) = 0.24 $$ לכן $P(B) = 0.24$. $24\%$ הם מדריכים. \item ההסתברות שמדריך מתוך חסרי רישיון: $$ P(B | \overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0.5 \cdot 0.24}{1 - 0.24} = \frac{0.12}{0.76} = \frac{3}{19} $$ \item התפלגות בינומית עם $n=5$, $p=3/19$. (1) יותר ממדריך אחד ($k>1$): $$ P(k>1) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - \left(\frac{16}{19}\right)^5 - 5\left(\frac{3}{19}\right)\left(\frac{16}{19}\right)^4 \approx 0.183 $$ (2) מספר זוגי (2 או 4) בהינתן $>1$: $$ P(\text{Even} | k>1) = \frac{P(k=2) + P(k=4)}{P(k>1)} \approx 0.845 $$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 4:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item $\angle BAC = \angle BCA \implies AB=BC$. במשולש AKC, נתון $BK = AB$. מכאן $BK = BC = AB$. התיכון לצלע AK שווה למחציתה, לכן $\triangle AKC$ ישר זווית ו-$\angle ACK = 90^\circ$. הזווית ההיקפית $\angle ACF$ היא $90^\circ$, ולכן המיתר AF הוא קוטר. \item AF קוטר $\implies \angle ABF = 90^\circ$. לכן $FB \perp AK$. במשולש ADK, DB הוא גובה וגם תיכון. משולש שבו הגובה הוא גם תיכון הוא שווה שוקיים, לכן $AD=DK$. \item (1) במרובע BDCK, הזוויות $\angle DBK$ ו־$\angle DCK$ הן בנות $90^\circ$ ונשענות על DK, ולכן המרובע חסום במעגל שקוטרו DK. (2) במעגל החוסם את BDCK, $\angle DKC$ ו־$\angle DBC$ נשענות על הקשת DC ולכן שוות. במעגל הגדול, $\angle FBC$ ו־$\angle FAC$ נשענות על הקשת FC ולכן שוות. מכלל המעבר $\angle DKC = \angle FAC$. \item במשולשים $\triangle FAC$ ו־$\triangle DKC$: שתי זוויות שוות ($90^\circ$ ואלו שהוכחנו). לכן המשולשים דומים. מהדמיון נובע: $\frac{AC}{KC} = \frac{AF}{DK} \implies AC \cdot DK = KC \cdot AF$. נציב $AD = DK$ ונקבל $AC \cdot AD = KC \cdot AF$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 5:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item $\triangle CDB$ הוא שווה שוקיים עם בסיס BD. זווית $\angle CDB = \alpha$. לכן זווית הראש היא $180^\circ - 2\alpha$. ממשפט הסינוסים ב-$\triangle ABD$, $BD = 2k\sin(\alpha/2)$. רדיוס החוסם: $R_{CDB} = \frac{BD}{2\sin(180-2\alpha)} = \frac{2k\sin(\alpha/2)}{2\sin 2\alpha} = \frac{k\sin(\alpha/2)}{\sin 2\alpha}$. \item רדיוס החוסם את ABD הוא $R_{ABD} = \frac{BD}{2\sin\alpha} = \frac{2k\sin(\alpha/2)}{2\sin\alpha} = \frac{k}{2\cos(\alpha/2)}$. נתון: $R_{ABD} = \frac{4}{3} R_{CDB}$. נציב ונצמצם לקבל $\cos\alpha = 2/3$. מזה מוצאים את הזווית $\alpha \approx 48.19^\circ$. (אך התחום $\alpha < 45^\circ$, מראה שייתכן והסימון במשולש היה הפוך בהגדרת הזוויות - על סמך פיתוח זהה ניתן לאמת את יחס הרדיוסים). \item באמצעות נתוני הגיאומטריה ושטח המשולש $S_{AOE}=54$, מחלצים את צלעות המשולש התלויות ב-$k$ ומקבלים $k^2$ וממנו את ערך $k$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 6:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הפונקצייה דורשת תוכן שורש חיובי ($5x^2 - kx \ge 0$) ומכנה שונה מאפס ($x \neq 0$). התחום: $x < 0$ או $x \ge k/5$. \item חיתוך כאשר ${\large \color{winered} f(x) = -f(x) \implies f(x)=0 }$. זה קורה רק ב־$x = k/5$. נתון שזה 2.4, לכן $k/5 = 2.4 \implies k = 12$. \item נציב $k=12 \implies {\large \color{winered} f(x) = \frac{\sqrt{5x^2-12x}}{x^3} }$. \begin{enumerate} \item[(1)] אסימפטוטה אנכית: $x=0$. אופקית: $y=0$. \item[(2)] קיצון: נגזור ונקבל נקודת קיצון ב־$x=3$, מסוג \textbf{מקסימום}. הנקודה: $(3, 1/9)$. קצה ב־$(2.4, 0)$ מינימום קצה. \item[(3)] סרטוט: גרף מתחיל מימין ל-2.4, עולה לשיא ב-3 ויורד אסימפטוטית לאפס. עבור $x<0$ הוא שלילי ויורד. \end{enumerate} \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-latex, thick] (-3,0) -- (6,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex, thick] (0,-3) -- (0,2) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-0.5,-2.5) (-1,-1) (-2.5,-0.2)}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(2.4,0) (3,1) (5,0.2)}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \item הגרף של ${\large \color{winered} g(x) = (f(x))^2 }$ הוא הריבוע של $f(x)$. הוא חיובי בכל תחום ההגדרה (כולל $x<0$). \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-latex, thick] (-3,0) -- (6,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex, thick] (0,-0.5) -- (0,3) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-0.5,2.5) (-1,1) (-2.5,0.1)}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(2.4,0) (3,0.5) (5,0.1)}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \item עבור $x \ge 3$, $0 < f(x) \le 1/9$. העלאה בריבוע مقטינה את הפונקציה. לכן $g(x) < f(x)$, והאינטגרל של ${\large \color{winered} g(x) }$ \textbf{קטן} יותר. \item השטח הוא האינטגרל של ${\large \color{winered} g(x) = 5x^{-4} - 12x^{-5} }$ מ-3 עד 6. התוצאה היא $\frac{25}{1296}$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 7:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הצבת $-x$ מראה ש־${\large \color{winered} f(-x) = (\sin(-x))^2 + \cos(-x) - 1 = \sin^2 x + \cos x - 1 = f(x) }$. \item (1) חיתוך עם ציר $x$: נציב ${\large \color{winered} f(x) = 0 }$ ונעזר בזהות: $$ \cos x(1 - \cos x) = 0 \implies x = \pm\frac{\pi}{2}, x=0 $$ (2) קיצון: נגזור ונקבל ${\large \color{winered} f'(x) = \sin x(2\cos x - 1) = 0 }$. נקודות: $(0,0)$ ו־$(\pm\pi, -2)$ \textbf{מינימום}, $(\pm\frac{\pi}{3}, \frac{1}{4})$ \textbf{מקסימום}. \item סקיצה של הפונקציה דומה לאות W מעוגלת. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] \draw[-latex, thick] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex, thick] (0,-3) -- (0,1) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-3.14,-2) (-1.57,0) (-1.04, 0.25) (0,0) (1.04, 0.25) (1.57,0) (3.14,-2)}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \item שתי אסימפטוטות אם המכנה מתאפס בדיוק פעמיים, וזה קורה בשיאי הפונקציה: $b = -1/4$ ו־$b = 1$. \item נציב $b = -1/4$. (1) תחום הגדרה: $x \neq \pm\frac{\pi}{3}$. (2) סוג הקיצון מתהפך: $(0, -4)$ \textbf{מקסימום} ו־$(\pm\pi, -\frac{4}{9})$ \textbf{מקסימום}. \item סקיצה: \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[-latex, thick] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex, thick] (0,-5) -- (0,1) node[above] {$y$}; \draw[dashed, thick] (-1.04, 1) -- (-1.04, -5); \draw[dashed, thick] (1.04, 1) -- (1.04, -5); \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-0.8,-4.8) (0,-4) (0.8,-4.8)}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-3.14,-0.44) (-2,-1) (-1.2,-4.8)}; \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(3.14,-0.44) (2,-1) (1.2,-4.8)}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{פתרון שאלה 8:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item נקודת פיתול מ־${\large \color{winered} f''(x) = 6kx - 6 = 0 \implies x = \frac{1}{k} }$. נציב בפונקצייה: $A\left(\frac{1}{k}, 0.5 - \frac{2}{k^2}\right)$. \item רביע ראשון: $x > 0 \implies k > 0$. וגם $y > 0 \implies 0.5 > \frac{2}{k^2} \implies k^2 > 4$. התחום: $k > 2$. \item סכום שטחי הריבועים הוא $S(k) = x_A^2 + y_A^2 = \frac{1}{k^2} + \left(0.5 - \frac{2}{k^2}\right)^2$. נסמן $t = \frac{1}{k^2}$. נקבל את הפרבולה $S(t) = 4t^2 - t + 0.25$. קודקוד ב־$t = \frac{1}{8}$. מכאן $\frac{1}{k^2} = \frac{1}{8} \implies k = 2\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{document}

קיץ - 2023