\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- חבילות בסיסיות --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{angles, quotes, calc, intersections} \usepackage{enumitem} % --- הגדרות שפה (XeLaTeX) --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} % --- הגדרת ריווח --- \linespread{1.5} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1em} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{בחינת בגרות במתמטיקה - 5 יחידות לימוד} \\ \large שאלון ראשון (35571), קיץ תשפ"ד, 2024 \end{center} \rule{\textwidth}{1pt} % ========================================== % שאלה 1 % ========================================== \section*{שאלה 1} \textbf{א.} הוכיחו באינדוקצייה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: \[ 4 + 13 + \dots + \frac{5n^2 + 3n}{2} = \frac{n(n+1)(5n+7)}{6} \] \textbf{ב.} נתונות הפונקציות $f(x), f'(x), f''(x)$, המוגדרות לכל $x \neq 0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. לגרף הפונקצייה $f''(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$, ושיעוריהן הם $(a,0), (b,0), (d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקצייה $f''(x)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[->] (-3.5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-4) -- (0,3) node[above] {$f''(x)$}; % גרף ענף שמאלי \draw[thick] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-3,2.5) (-1.5,0) (-1,-3)}; % גרף ענף ימני \draw[thick] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(0.5,-3) (1,0) (1.8,1.5) (3,0) (4.5,-2.5)}; \fill (-1.5,0) circle (2pt) node[below left] {$a$}; \fill (1,0) circle (2pt) node[below left] {$b$}; \fill (3,0) circle (2pt) node[below right] {$d$}; \draw[dashed] (1.8,0) node[below] {$c$} -- (1.8,1.5) -- (0,1.5) node[left] {$e$}; \fill (1.8,1.5) circle (2pt); \end{tikzpicture} \end{center} (1) הביעו באמצעות $a,b,c,d,e$, אם יש צורך, את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$. \\ (2) נתונה הפונקצייה $h(x)$ המקיימת: $h'(x) = f''(x) - e$. הפונקצייה $h(x)$ מוגדרת לכל $x \neq 0$. מצאו כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש לפונקצייה $h(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 1} \textbf{א.} הוכחה. \\ \textbf{ב. (1)} תחומי עלייה: $x < a$ או $b < x < d$. תחומי ירידה: $a < x < 0$ או $0 < x < b$ או $x > d$. \\ \textbf{ב. (2)} לפונקציה $h(x)$ יש נקודת קיצון אחת, ונקודת פיתול אחת. \newpage % ========================================== % שאלה 2 % ========================================== \section*{שאלה 2} הסדרה $A$ היא סדרה הנדסית שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3 \dots$ ומנתה היא $q$, $-1 < q < 0$. נתון: $a_1 = 1$. הסדרה $B$ מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $b_n = a_n \cdot a_{n+2}$. \textbf{א.} הוכיחו כי הסדרה $B$ היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות $q$. \textbf{ב.} לפניכם שלוש טענות I-III. קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. \begin{enumerate}[label=\Roman*.] \item הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. \item הסדרה $B$ היא סדרה עולה. \item האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $A$ יוצרים סדרה עולה. \end{enumerate} \textbf{ג.} נתון: הסדרה $B$ היא סדרה אין סופית שסכומה הוא $\frac{1}{8}$. מצאו את ערכו של $q$. \textbf{ד.} נתונה סדרה הנדסית נוספת $C$ המוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $c_n = \frac{a_n}{b_n}$. נתון $m$ הוא מספר טבעי, ומתקיים $c_3 + c_4 + \dots + c_m = 44,307$. מצאו את הערך של $m$. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 2} \textbf{א.} הוכחה. מנת הסדרה $B$ היא $q^2$. \\ \textbf{ב.} טענה I נכונה, טענה II לא נכונה, טענה III נכונה. \\ \textbf{ג.} $q = -\frac{1}{3}$. \\ \textbf{ד.} $m = 9$. \newpage % ========================================== % שאלה 3 % ========================================== \section*{שאלה 3} בחידון יש 5 שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא $p$. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא $0.83193$. \textbf{א.} מצאו את $p$. \textbf{ב.} מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק. מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר מתמודד שענה נכון על שאלה 1 מקבל נקודה אחת, מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה. \textbf{ג.} מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות. \textbf{ד.} מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק. \textbf{ה.} ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 3} \textbf{א.} $p = 0.7$. \\ \textbf{ב.} $0.3087$. \\ \textbf{ג.} $0.2401$. \\ \textbf{ד.} $0.05733$. \\ \textbf{ה.} $\frac{1}{10}$. \newpage % ========================================== % שאלה 4 % ========================================== \section*{שאלה 4} המרובע $ABCD$ חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה $F$. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את המשך המיתר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט). נתון: $AB = CB$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] \draw[thick] (0,0) circle (2); \coordinate (A) at (120:2); \coordinate (B) at (190:2); \coordinate (C) at (280:2); \coordinate (D) at (10:2); \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw[thick] (A) -- (C); \draw[thick] (B) -- (D); \coordinate (F) at (intersection of A--C and B--D); \node at (F) [above] {$F$}; \node at (A) [above left] {$A$}; \node at (B) [left] {$B$}; \node at (C) [below right] {$C$}; \node at (D) [right] {$D$}; % משיק והמשך מיתר AB \coordinate (E) at (-3,-2.5); \draw[thick] (B) -- (E) -- (C); \node at (E) [below left] {$E$}; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{א.} הוכיחו $\angle EBC = 2 \cdot \angle BDC$. \textbf{ב.} נתון: $AC$ חוצה את זווית $\angle ECD$, וכן $\frac{CD}{CF} = \frac{7}{4}$. \begin{enumerate} \item[(1)] הוכיחו: $AC = AD$. \item[(2)] מצאו את היחס $\frac{AD}{CD}$. \item[(3)] מצאו את היחס בין שטח המשולש $ABF$ ובין שטח המשולש $CBF$. \end{enumerate} \textbf{ג.} נסמן את שטח המשולש $ABF$ ב־$S$. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AEC$. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 4} \textbf{א.} הוכחה. \\ \textbf{ב. (1)} הוכחה. \textbf{(2)} $\frac{AD}{CD} = \frac{4}{3}$. \textbf{(3)} $\frac{S_{\triangle ABF}}{S_{\triangle CBF}} = \frac{4}{3}$. \\ \textbf{ג.} $2.75S$. \newpage % ========================================== % שאלה 5 % ========================================== \section*{שאלה 5} במשולש $ABC$, $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$.\\ הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$. $BD$ ו־$AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט).\\ נתון: $BP = 3PD$. נסמן: $AB = k$, $\angle BAP = \alpha$, $\angle ABP = \beta$, כאשר $\alpha < \beta$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] \coordinate (B) at (2.5,0); \coordinate (C) at (9,0); \coordinate (A) at (1.5,4); \coordinate (D) at ($(A)!0.5!(C)$); \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; \draw[thick] (B) -- (D); \coordinate (P) at ($(B)!0.75!(D)$); \path[name path=AE_line] (A) -- ($(A)!2!(P)$); \path[name path=BC_line] (B) -- (C); \coordinate (E) at (4.5,0); \draw[thick] (A) -- (E); \node at (A) [above] {$A$}; \node at (B) [below left] {$B$}; \node at (C) [below right] {$C$}; \node at (D) [above right] {$D$}; \node at (P) [right] {$P$}; \node at (E) [below] {$E$}; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{א.} הביעו באמצעות $k, \alpha, \beta$ את אורכי הקטעים $AP$ ו־$BP$. נתון כי $AE$ ו־$BD$ מאונכים זה לזה, וכי שטח המשולש $ABD$ הוא $\frac{1}{4}k^2$. \textbf{ב.} מצאו את גודל הזווית $\alpha$. \textbf{ג.} מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEB$. \textbf{ד.} מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$, כך שמתקיים $\angle ABC = 90^\circ$. הביעו את תשובתכם באמצעות $k$. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 5} \textbf{א.} $AP = \frac{k \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}$, \quad $BP = \frac{k \sin \alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$. \\ \textbf{ב.} $\alpha \approx 24.3^\circ$. \\ \textbf{ג.} $\approx 1.843$. \\ \textbf{ד.} $6.045k$. \newpage % ========================================== % שאלה 6 % ========================================== \section*{שאלה 6} נתונה הפונקצייה: $f(x) = \frac{4x}{(x^2 - a)^2}$, $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך. \textbf{א.} \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$. \item[(2)] מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$. \item[(3)] מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $f(x)$. \end{enumerate} \textbf{ב.} סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g'(x) = f(x)$. גרף הפונקצייה $g(x)$ עובר בנקודה $(0,0)$. הפונקציות $g(x)$ ו־$f(x)$ מוגדרות באותו התחום. \textbf{ג.} מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקצייה $g(x)$. \textbf{ד.} \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו פונקצייה $g(x)$ המקיימת תנאים אלו. \item[(2)] סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ שמצאתם בתת־סעיף ד(1). \end{enumerate} היא פונקצייה המוגדרת כך: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. הפונקציות $f(x)$ ו־$h(x)$ מוגדרות באותו התחום. \textbf{ה.} \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו את משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקצייה $h(x)$. \item[(2)] מצאו את תחומי החיוביות של הפונקצייה $h(x)$. \end{enumerate} \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 6} \textbf{א. (1)} $x \neq \pm\sqrt{a}$. \textbf{(2)} $x = \pm\sqrt{a}, y=0$. \textbf{(3)} תחומי עלייה: $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$, תחומי ירידה: $x < -\sqrt{a}$ או $x > \sqrt{a}$. \\ \textbf{ב.} סרטוט סקיצה. \\ \textbf{ג.} תחומי קעירות כלפי מעלה: $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$, תחומי קעירות כלפי מטה: $x < -\sqrt{a}$ או $x > \sqrt{a}$. \\ \textbf{ד. (1)} $g(x) = -\frac{2}{x^2-a} - \frac{2}{a}$. \textbf{(2)} סרטוט סקיצה. \\ \textbf{ה. (1)} $x = \pm\sqrt{a}, y=0$. \textbf{(2)} $x < -\sqrt{a}$ או $0 < x < \sqrt{a}$. \newpage % ========================================== % שאלה 7 % ========================================== \section*{שאלה 7} נתונה הפונקצייה $f(x) = \cos x - \sqrt{\cos x}$, בתחום $-\pi \le x \le \pi$. \textbf{א.} \begin{enumerate} \item[(1)] מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$. \item[(2)] הראו כי הפונקצייה $f(x)$ היא פונקצייה זוגית. \item[(3)] מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם הצירים. \item[(4)] מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$, וקבעו את סוגן (בתשובתכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית). \end{enumerate} \textbf{ב.} סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. \textbf{ג.} מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה). \textbf{ד.} קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] % מתאר כללי של הגרף הנכון (גרף IV - פונקציה אי זוגית) \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$}; \draw[thick, domain=-1.5:1.5, samples=100] plot (\x, {-sin(\x r)*(\x*\x - 1)}); \node at (2.5,1.5) {IV}; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{ה.} נתונה הפונקצייה $g(x) = k - f(x)$, $k$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $g(x)$ ו־$f(x)$ מוגדרות באותו התחום. נסמן ב־$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ ועל ידי ציר ה־$x$ בתחום בין $x = -\frac{\pi}{2}$ ל־$x = \frac{\pi}{2}$. נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות $g(x)$ ו־$f(x)$ ועל ידי הישרים $x = -\frac{\pi}{2}$ ו־$x = \frac{\pi}{2}$ הוא $10 \cdot S$. הביעו את $k$ באמצעות $S$. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 7} \textbf{א. (1)} $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$. \textbf{(2)} הוכחה. \textbf{(3)} $(0,0), (\pm \frac{\pi}{2}, 0)$. \textbf{(4)} מקסימום: $(0,0), (\pm \frac{\pi}{2}, 0)$, מינימום: $(\pm 0.42\pi, -0.25)$. \\ \textbf{ב.} סרטוט סקיצה. \\ \textbf{ג.} תחומי שליליות: $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ וכן $0 < x < \frac{\pi}{2}$. \\ \textbf{ד.} גרף IV. \\ \textbf{ה.} $k = \frac{6S}{\pi}$. \newpage % ========================================== % שאלה 8 % ========================================== \section*{שאלה 8} הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$. מסמנים על הקוטר נקודה $C$ ועל המעגל מסמנים נקודה $D$, כך שהקטע $CD$ מאונך לקטע $AB$. הקטע $AC$ גדול מ־$R$. דרך הנקודה $D$ מעבירים ישר שמקביל לקוטר $AB$. דרך הנקודה $A$ מעבירים משיק למעגל. הישר המקביל והמשיק נחתכים בנקודה $E$. נסמן: $AC = x$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2] \draw[thick] (0,0) circle (2); \coordinate (B) at (-2,0); \coordinate (A) at (2,0); \coordinate (C) at (-0.5,0); % AC > R (2.5 > 2) \coordinate (D) at (-0.5, {sqrt(4 - 0.25)}); \coordinate (E) at (2, {sqrt(4 - 0.25)}); \draw[thick] (B) -- (A); \draw[thick] (C) -- (D) -- (E) -- (A); \draw[thick] (D) -- (C); \node at (A) [right] {$A$}; \node at (B) [left] {$B$}; \node at (C) [below] {$C$}; \node at (D) [above left] {$D$}; \node at (E) [above right] {$E$}; \fill (0,0) circle (1pt); \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{א.} הביעו באמצעות $R$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן $ACDE$ מקסימלי. הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$. \textbf{ב.} הביעו באמצעות $R$ את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים $AFE$ ו־$CDF$. \newpage \subsection*{תשובה סופית - שאלה 8} \textbf{א.} $x_{max} = 1.5R$. \\ \textbf{ב.} $\frac{3\sqrt{3}}{8} R^2$. \end{document}

קיץ - 2024