\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- חבילות בסיסיות --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm, bottom=3cm, top=2.5cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usepackage{enumitem} % --- הגדרת צבע אדום-יין --- \definecolor{winered}{RGB}{142, 36, 48} % --- הגדרות שפה (עברית) --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} % --- הגדרת כותרת תחתונה (זכויות יוצרים) --- \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \cfoot{\footnotesize כל הזכויות שמורות ל-גיא קורן, אין להעתיק, לפרסם, את המסמך הזה או חלק ממנו ללא אישור בכתב.} \lfoot{\thepage} % --- הגדרת ריווח 1.5 בין שורות --- \linespread{1.5} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{חקירה אי רציונלית - שאלון 581} \\[0.2cm] \end{center} % ========================================== % תרגיל 1 % ========================================== \section*{תרגיל 1} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}} }$. ${\color{winered} a>0 }$ הוא פרמטר. \\ הבע את תשובותיך באמצעות ${\color{winered} a }$ אם יש צורך. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item הוכח כי הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ היא זוגית. \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(2)] מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ וקבע את סוגן. \item[(4)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} (f(x))^2 }$ שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ${\color{winered} (f(x))^2 }$, וקבע את סוגן. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=\frac{1}{(f(x))^2} }$. תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 1} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item נדרוש תוכן שורש חיובי במכנה: $x^2-a^2 > 0 \implies x>a$ או $x<-a$. \item הצבת $-x$ מניבה: $f(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{(-x)^2-a^2}} = \frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}} = f(x)$. הפונקציה זוגית. \item \begin{enumerate} \item[(1)] $x=0$ מחוץ לתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך עם ציר $y$. השוואת הפונקציה ל-0 נותנת $x=0$, לכן אין גם חיתוך עם ציר $x$. \item[(2)] המכנה מתאפס ב-$x=a$ ו-$x=-a$ והמונה אינו מתאפס שם. לכן אסימפטוטות אנכיות: $x=a, x=-a$. \item[(3)] נגזרת הפונקציה מתאפסת עבור $x=\pm\sqrt{2a}$ (שגיאת כתיב קלה בתשובון המקורי, צריך להיות $x=\pm\sqrt{2}a$). סוג הקיצון: מינימום. הנקודות: $(\sqrt{2}a, 2a)$, $(-\sqrt{2}a, 2a)$. \item[(4)] הסקיצה תציג שתי קערות עולות החוצה מהאסימפטוטות האנכיות עם נקודות מינימום מקומיות בכל צד. \end{enumerate} \item ההעלאה בריבוע שומרת על תחומי העלייה והירידה (עבור פונקציה חיובית), לכן שיעורי ה-$x$ של הקיצון נשמרים, וערכי ה-$y$ עולים בריבוע. נקודות מינימום: $(\sqrt{2}a, 4a^2)$ ו- $(-\sqrt{2}a, 4a^2)$. \item פונקציית ההופכי: תחומי עלייה וירידה מתהפכים. נקודות הקיצון הופכות למקסימום: $(\pm\sqrt{2}a, \frac{1}{4a^2})$. האסימפטוטות האנכיות הופכות לנקודות חיתוך עם ציר $x$ (חורים). \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 2 % ========================================== \section*{תרגיל 2} נתונה הפונקציה: ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{1-2x}}{x^2-x} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item[(2)] מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים. \item[(4)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה). \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 2} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] דרישות: $1-2x \ge 0 \implies x \le 0.5$. וגם מכנה: $x^2-x \ne 0 \implies x \ne 0, 1$. חיתוך התנאים: $x < 0$ או $0 < x \le 0.5$. \item[(2)] חיתוך עם ציר $x$ (מונה מתאפס): $x=0.5$. הנקודה $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$. חיתוך עם ציר $y$: אין (לא בתחום). \item[(3)] אסימפטוטה אנכית (איפוס מכנה): $x=0$. אסימפטוטה אופקית (חזקת מכנה גבוהה משל מונה): $y=0$. \item[(4)] גזירת הפונקציה מראה שהנגזרת שלילית בכל תחום הגדרתה. תחומי עלייה: אין. תחומי ירידה: $x < 0$ או $0 < x < \frac{1}{2}$. \end{enumerate} \item הסקיצה מורכבת משני ענפים יורדים: אחד יורד מימין לאסימפטוטה $x=0$ וחותך את ציר ה-$x$ ב-$0.5$, והשני עולה לאסימפטוטה משמאל ל-$0$ (מערכים שליליים) ושואף ל-$y=0$ כש-$x \to -\infty$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 3 % ========================================== \section*{תרגיל 3} נתונה הפונקציה: ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-4a}}{x^3} }$. ${\color{winered} a>0 }$ הוא פרמטר. \\ בסעיפים א-ה, בטא את תשובותיך באמצעות ${\color{winered} a }$, לפי הצורך. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$? \item הוכח שהפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ אי זוגית. \item \begin{enumerate} \item[(1)] מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים? \item[(2)] מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$, וקבע את סוגן. \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item נתונה גם הפונקציה: ${\color{winered} g(x)=\frac{1}{f(x)} }$. \begin{enumerate} \item[(1)] מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$? \item[(2)] מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$, אם יש כאלה? \end{enumerate} \item ידוע כי בכל אחת מנקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות ${\color{winered} f(x) }$ ו־${\color{winered} g(x) }$, יש לגרף של ${\color{winered} f(x) }$ ולגרף של ${\color{winered} g(x) }$ משיק משותף. \begin{enumerate} \item[(1)] הוסף לסרטוט שבמחברתך סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \item[(2)] מהו הערך של ${\color{winered} a }$? נמק את תשובתך. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 3} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item דרישה לשורש חיובי: $3x^2-4a \ge 0 \implies x^2 \ge \frac{4a}{3}$. תחום ההגדרה: $x \ge \sqrt{\frac{4a}{3}}$ או $x \le -\sqrt{\frac{4a}{3}}$. \item $f(-x) = \frac{\sqrt{3(-x)^2-4a}}{(-x)^3} = \frac{\sqrt{3x^2-4a}}{-x^3} = -f(x)$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] חיתוך ציר $x$: פתרון המשוואה נותן $x = \pm \sqrt{\frac{4a}{3}}$. הנקודות: $\left(\sqrt{\frac{4a}{3}}, 0\right)$, $\left(-\sqrt{\frac{4a}{3}}, 0\right)$. \item[(2)] נגזור ונשווה לאפס: נקבל $x = \pm \sqrt{2a}$. סוג הקיצון: מקסימום $\left(\sqrt{2a}, \frac{1}{2a}\right)$, ומינימום $\left(-\sqrt{2a}, -\frac{1}{2a}\right)$. נקודות חיתוך הצירים הן נקודות קיצון קצה: מינימום מוחלט משמאל ומקסימום מוחלט מימין בהתאמה לקצוות. \end{enumerate} \item (סרטוט גרף אי-זוגי עם נקודות הקיצון והשאיפה לאסימפטוטה $y=0$). \item \begin{enumerate} \item[(1)] תחום ההגדרה זהה למעט איסור איפוס המכנה המקורי ($f(x) \ne 0$). לכן: $x > \sqrt{\frac{4a}{3}}$ או $x < -\sqrt{\frac{4a}{3}}$. \item[(2)] האסימפטוטות האנכיות של $g(x)$ הן היכן ש-$f(x)=0$: $x=\sqrt{\frac{4a}{3}}$ ו- $x=-\sqrt{\frac{4a}{3}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] $g(x)$ מתהפכת במגמותיה (הופכית). \item[(2)] משיק משותף בקיצון משמעו שהערך שם זהה: $f(x)=g(x) \implies f(x) = \frac{1}{f(x)} \implies (f(x))^2=1$. בנקודת הקיצון $f(\sqrt{2a}) = \frac{1}{2a}$. השוואה ל-1 נותנת: $\frac{1}{2a} = 1 \implies a = \frac{1}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 4 % ========================================== \section*{תרגיל 4} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x}} }$. ${\color{winered} a }$ הוא פרמטר. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] בעבור אילו ערכים של הפרמטר ${\color{winered} a }$ אין לפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ נקודות קיצון? נמק. \item[(2)] במקרים שיש לפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ נקודת קיצון, הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ את שיעוריה וקבע את סוגה. \end{enumerate} \item סרטט בנפרד סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ לכל אחד מן התחומים iii-i של הפרמטר ${\color{winered} a }$ שלפניך: \\ i. ${\color{winered} a>0 }$ \quad ii. ${\color{winered} a<0 }$ \quad iii. ${\color{winered} a=0 }$ \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=f(x)-b }$. ${\color{winered} b }$ הוא פרמטר. \\ נתון כי גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$ חותך את ציר ה־${\color{winered} x }$ בשתי נקודות. \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את התחום של הפרמטר ${\color{winered} a }$. נמק. \item[(2)] הבע את התחום של הפרמטר ${\color{winered} b }$ באמצעות ${\color{winered} a }$. נמק. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 4} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item תנאי מכנה ותנאי שורש: $x > 0$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] נגזור את הפונקציה: $f'(x) = \frac{1\cdot\sqrt{x} - (x+a)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2x - (x+a)}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-a}{2x\sqrt{x}}$. נשווה לאפס: $x=a$. מאחר שתחום ההגדרה הוא $x>0$, לפונקציה לא תהיה נקודת קיצון אם $a \le 0$. \item[(2)] אם $a>0$, הנקודה החשודה היא $x=a$. נציב בפונקציה: $f(a) = \frac{2a}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a}$. על פי טבלת סימנים מדובר בנקודת \textbf{מינימום}: $(a, 2\sqrt{a})$. \end{enumerate} \item \textbf{סקיצות:} \\ עבור $a>0$: הפונקציה יורדת מהאסימפטוטה $x=0$, מגיעה למינימום ועולה לאינסוף. \\ עבור $a \le 0$: הנגזרת חיובית תמיד לכל $x>0$, ולכן הפונקציה רק עולה מתוך החיתוך עם ציר $x$ (או ראשית הצירים בחור). \item \begin{enumerate} \item[(1)] כדי שיהיו שתי נקודות חיתוך, הפונקציה חייבת לשנות כיוון, כלומר חייבת להיות לה נקודת קיצון (מינימום במקרה זה). לכן נדרש: $\mathbf{a > 0}$. \item[(2)] $g(x)$ היא הפונקציה $f(x)$ המוזזת אנכית ב-$b$. כדי שיחתוך את ציר ה-$x$ פעמיים, נקודת המינימום חייבת לרדת מתחת לציר ה-$x$. הערך הקודם במינימום היה $2\sqrt{a}$. לכן אנו צריכים ש- $2\sqrt{a} - b < 0 \implies \mathbf{b > 2\sqrt{a}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 5 % ========================================== \section*{תרגיל 5} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2-16}} }$. ${\color{winered} a \ne 0 }$ הוא פרמטר. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} ענה על סעיפים ב-ד בעבור ${\color{winered} a>0 }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2] \item מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים (אם יש צורך, הבע באמצעות ${\color{winered} a }$). \item מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה). \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ בעבור ${\color{winered} a<0 }$. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=f(x)\cdot f'(x) }$ המוגדרת בתחום שבו מוגדרות הפונקציות ${\color{winered} f(x) }$ ו־${\color{winered} f'(x) }$. עבור ${\color{winered} a=1 }$: \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום השליליות של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 5} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item נדרוש תוכן שורש חיובי במכנה: $x^2-16 > 0 \implies x > 4$ או $x < -4$. \item עבור $a>0$: אסימפטוטות אנכיות (איפוס מכנה): $x = 4$, $x = -4$. \\ אסימפטוטות אופקיות ($x \to \pm\infty$): $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{ax}{|x|} = a \implies y=a$. \\ $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{ax}{-x} = -a \implies y=-a$. \item נגזור: $f'(x) = \frac{a\sqrt{x^2-16} - ax\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}}{x^2-16} = \frac{a(x^2-16)-ax^2}{(x^2-16)^{1.5}} = \frac{-16a}{(x^2-16)^{1.5}}$. \\ מאחר ש-$a>0$, הנגזרת \textbf{שלילית תמיד}. תחומי ירידה: $x > 4$ או $x < -4$. תחומי עלייה: אין. \item סקיצה: בשני הצדדים הפונקציה יורדת לאורך האסימפטוטות שלה (מימין מאינסוף ל-$a$, ומשמאל מ-$-a$ למינוס אינסוף). \item עבור $a<0$: המגמות מתהפכות. הנגזרת הופכת חיובית, ולכן הפונקציה \textbf{עולה} לכל $x$ בתחום ההגדרה. \item עבור $a=1$: הנגזרת $f'(x)$ שלילית. כדי ש-$g(x) = f(x)f'(x)$ תהיה שלילית, אנו דורשים ש-$f(x)$ תהיה \textbf{חיובית} (שכן $+ \times - = -$). \\ הפונקציה $f(x)$ חיובית בתחום $\mathbf{x > 4}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 6 % ========================================== \section*{תרגיל 6} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a}}{x^2} }$. ${\color{winered} a \ne 0 }$ הוא פרמטר. \\ ענה על סעיף א. אם צריך, הבע את תשובותיך באמצעות ${\color{winered} a }$, והבחן בין ${\color{winered} a>0 }$ ובין ${\color{winered} a<0 }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item[(2)] מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] הראה שהפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ היא פונקציה זוגית. \item[(4)] מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים (אם יש כאלה). \item[(5)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ בעבור ${\color{winered} a>0 }$ וסקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ בעבור ${\color{winered} a<0 }$. \item מצא בעבור אילו ערכים של הפרמטר ${\color{winered} a }$ גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ חותך את הישר ${\color{winered} y=1 }$ או משיק לו. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 6} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] עבור $a>0$: $x^2-a \ge 0 \implies x \ge \sqrt{a}$ או $x \le -\sqrt{a}$. \\ עבור $a<0$: השורש תמיד מוגדר, הבעיה רק במכנה $x \ne 0$. \item[(2)] עבור $a>0$: חיתוך ציר $x$ ב- $(\sqrt{a}, 0), (-\sqrt{a}, 0)$. \\ עבור $a<0$: אין חיתוך עם הצירים. \item[(3)] הצבת $-x$ מותירה את הפונקציה זהה: $f(-x) = \frac{\sqrt{(-x)^2-a}}{(-x)^2} = f(x)$. הפונקציה זוגית. \item[(4)] אסימפטוטה אופקית ($x \to \pm\infty$): החזקה במכנה גדולה יותר, ולכן $\mathbf{y=0}$. \\ אנכית: עבור $a>0$ המכנה לא מתאפס בתחום, ולכן \textbf{אין}. עבור $a<0$, המכנה מתאפס ב- $\mathbf{x=0}$. \item[(5)] נגזור ונשווה לאפס: $f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-a}} \cdot x^2 - \sqrt{x^2-a} \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^3 - 2x(x^2-a)}{x^4\sqrt{x^2-a}} = \frac{2ax - x^3}{x^4\sqrt{x^2-a}}$. \\ נשווה לאפס מונה: $x(2a - x^2) = 0 \implies x = \pm\sqrt{2a}$. \\ עבור $a>0$: קיצון מקומי ב- $x = \pm\sqrt{2a}$. עלייה: $\sqrt{a} < x < \sqrt{2a}$ או $x < -\sqrt{2a}$. ירידה: $x > \sqrt{2a}$ או $-\sqrt{2a} < x < -\sqrt{a}$. \\ עבור $a<0$: אין איפוס נגזרת. עלייה: $x < 0$. ירידה: $x > 0$. \end{enumerate} \item סרטוטים לפי הממצאים: עבור $a>0$ פעמיים כיפה היורדת מ-$x=\pm\sqrt{a}$. עבור $a<0$ אסימפטוטה במרכז. \item כדי שיחתוך את $y=1$, ערך המקסימום המוחלט של הפונקציה (שקיים רק עבור $a>0$) צריך להיות גדול או שווה ל-1. $f(\sqrt{2a}) = \frac{\sqrt{2a-a}}{2a} = \frac{\sqrt{a}}{2a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}$. נדרוש $\frac{1}{2\sqrt{a}} \ge 1 \implies 2\sqrt{a} \le 1 \implies a \le \frac{1}{4}$. מאחר ש- $a>0$, נקבל: $\mathbf{0 < a \le \frac{1}{4}}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 7 % ========================================== \section*{תרגיל 7} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{(x+1)(x-a)}}{x-2} }$. ${\color{winered} a>2 }$ הוא פרמטר. \\ ענה על סעיף א. הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ אם צריך. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$? \item[(2)] מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים? \item[(3)] מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים. \end{enumerate} \item נתון: ${\color{winered} f(a+2)=-f(2-a) }$. מצא את ${\color{winered} a }$. \end{enumerate} הצב ${\color{winered} a=5 }$ וענה על הסעיפים ג-ד. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה). \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x+2) }$. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 7} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] שורש חיובי: $(x+1)(x-a) \ge 0$. כיוון ש-$a>2$, פתרון אי השוויון הוא: $x \ge a$ או $x \le -1$. (המכנה $x \ne 2$ נכלל אוטומטית כי 2 לא בתחום). \item[(2)] עם ציר $x$: הפתרון של $(x+1)(x-a)=0 \implies \mathbf{(a, 0), (-1, 0)}$. \\ עם ציר $y$: אין חיתוך, כיוון ש-$x=0$ לא בתחום ההגדרה. \item[(3)] אנכיות: אין (המכנה מתאפס ב-$x=2$ שלא בתחום). \\ אופקיות: גבול לאינסוף נותן $\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{x}{x} = 1 \implies \mathbf{y=1}$. \\ גבול למינוס אינסוף נותן $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1 \implies \mathbf{y=-1}$. \end{enumerate} \item נציב ונקבל משוואה שפתרונה $\mathbf{a=5}$. \item עבור $a=5$: התחום $x \ge 5$ או $x \le -1$. \begin{enumerate} \item[(1)] נגזור ונראה שהנגזרת שלילית תמיד. עלייה: \textbf{אין}. ירידה: $\mathbf{x > 5}$ \textbf{או} $\mathbf{x < -1}$. \item[(2)] משרטטים את הענפים המתקרבים לאסימפטוטות האופקיות משני צידי ציר ה-$y$. \end{enumerate} \item הפונקציה $f(x+2)$ היא פשוט הזזה של הגרף ב-2 יחידות שמאלה. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 8 % ========================================== \section*{תרגיל 8} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{3x}{4x^2-1} }$ שתחום הגדרתה הוא ${\color{winered} x \ne \pm \frac{1}{2} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה). \item[(2)] מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=\sqrt{\frac{3x}{4x^2-1}} }$. \begin{enumerate} \item[(1)] מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$? \item[(2)] מה הן משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$ המאונכות לצירים? \end{enumerate} \item נתון כי לפונקציה ${\color{winered} g(x) }$ יש בדיוק נקודת פיתול אחת. שיעור ה־${\color{winered} x }$ של נקודה זו קטן מאפס. \begin{enumerate} \item[(1)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ${\color{winered} g'(x) }$. \end{enumerate} \item מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} h(x)=\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{4x^2-1}} }$? \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 8} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] נגזור: $f'(x) = \frac{3(4x^2-1) - 3x(8x)}{(4x^2-1)^2} = \frac{-12x^2-3}{(4x^2-1)^2}$. הנגזרת תמיד שלילית. תחומי עלייה: \textbf{אין}. תחומי ירידה: לכל ${\color{winered} x \ne \pm 0.5 }$. \item[(2)] בעזרת טבלת ערכים או נחש: חיוביות עבור $\mathbf{x > 0.5}$ או $\mathbf{-0.5 < x < 0}$. שליליות עבור $\mathbf{0 < x < 0.5}$ או $\mathbf{x < -0.5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] הפונקציה תחת השורש צריכה להיות אי-שלילית, כלומר שחלק (א)(2) החיובי. ולכן תחום ההגדרה של $g(x)$ הוא $\mathbf{x > 0.5}$ או $\mathbf{-0.5 < x \le 0}$. \item[(2)] אסימפטוטות אנכיות מתאפסות המכנה: $\mathbf{x = 0.5, x = -0.5}$. אסימפטוטה אופקית (גבול לאינסוף של מנת הפולינומים תחת השורש שואף ל-0): $\mathbf{y=0}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] לפי הנתונים, הגרף יורד תמיד בתחום הגדרתו. בענף החיובי ($-0.5 < x \le 0$) הגרף יורד מאינסוף לאפס. בענף השני ($x>0.5$) יורד מאינסוף ל-$y=0$. \item[(2)] גרף הנגזרת הוא תמיד מתחת לציר ה-$x$ כי הפונקציה יורדת תמיד. \end{enumerate} \item הפונקציה $h(x)$ מפוצלת לשני שורשים. המונה דורש $x \ge 0$. המכנה דורש $4x^2-1 > 0 \implies x > 0.5$ או $x < -0.5$. חיתוך התנאים: $\mathbf{x > 0.5}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 9 % ========================================== \section*{תרגיל 9} נתונה משפחת הפונקציות: ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x-2}}{2x-a} }$. ${\color{winered} a }$ הוא פרמטר המקיים ${\color{winered} -4 < a < 2 }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item[(2)] הסבר מדוע לפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ אין אסימפטוטה מקבילה לציר ה־${\color{winered} y }$. \item[(3)] מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המקבילות לציר ה־${\color{winered} x }$. \item[(4)] מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים? \item[(5)] מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ את שיעורי ה־${\color{winered} x }$ שבעבורם ${\color{winered} f'(x)=0 }$ (אם יש כאלה). \item[(2)] מצא את הערך של ${\color{winered} a }$ שבעבורו ${\color{winered} f'(x) \ne 0 }$ לכל ${\color{winered} x }$ בתחום ההגדרה. \end{enumerate} \item הצב ${\color{winered} a=-1 }$ וענה: \begin{enumerate} \item[(1)] מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה)? \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 9} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] תוכן שורש אי-שלילי: $x^2+x-2 \ge 0 \implies (x+2)(x-1) \ge 0 \implies \mathbf{x \ge 1}$ \textbf{או} $\mathbf{x \le -2}$. \item[(2)] אסימפטוטה אנכית מתקבלת כשמכנה מתאפס: $x = a/2$. כיוון שנתון $-4 < a < 2$, נובע ש-$-2 < a/2 < 1$. ערך זה נמצא ב"חור" של תחום ההגדרה ולכן לעולם אינו נכלל בו כנקודה פתוחה, ומכאן \textbf{שאין אסימפטוטה אנכית}. \item[(3)] חלוקת מקדמים שואפת ל-$\frac{\pm x}{2x}$, לכן $\mathbf{y=0.5}$ (באינסוף) ו-$\mathbf{y=-0.5}$ (במינוס אינסוף). \item[(4)] חיתוך ציר $x$ כאשר מונה מתאפס: $\mathbf{(1,0)}$ ו-$\mathbf{(-2,0)}$. \item[(5)] המכנה $2x-a$: עבור $x \ge 1$ המכנה חיובי. עבור $x \le -2$ המכנה שלילי. המונה תמיד חיובי. לכן: חיוביות ב-$\mathbf{x > 1}$, שליליות ב-$\mathbf{x < -2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] גזירה והשוואת המונה לאפס נותנת: $\mathbf{x = \frac{8-a}{2a+2}}$. \item[(2)] כדי שלא יתאפס בתחום, נדרוש שהנקודה תיפול ב"חור" של ההגדרה (בין -2 ל-1) או לא תהיה מוגדרת. עבור $\mathbf{a=-1}$, המכנה מתאפס והנקודה לא קיימת, או שהנגזרת לא מתאפסת כלל. \end{enumerate} \item עבור $a=-1$: \begin{enumerate} \item[(1)] הנגזרת אינה מתאפסת והיא חיובית. הפונקציה \textbf{עולה בכל תחום הגדרתה}. \item[(2)] שרטוט: שתי עקומות עולות אל האסימפטוטות שלהן. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 10 % ========================================== \section*{תרגיל 10} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x^2-10x+24}} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item[(2)] מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המאונכות לצירים. \item[(4)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ (אם יש כאלה). \item[(5)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=f(x+5) }$. \begin{enumerate} \item[(1)] הוכח ש־${\color{winered} g(x) }$ היא פונקציה אי זוגית. \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 10} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] תוכן שורש מוגדר וחיובי: $x^2-10x+24 > 0 \implies (x-6)(x-4) > 0$. התחום: $\mathbf{x > 6}$ או $\mathbf{x < 4}$. \item[(2)] חיתוך ציר $x$: המונה מתאפס ב-$x=5$, שלא בתחום, לכן \textbf{אין}. חיתוך ציר $y$: $\mathbf{(0, -5/\sqrt{24})}$. \item[(3)] אנכיות: מאפסות את המכנה בקצות התחום $\mathbf{x=4, x=6}$. אופקיות: גבולות שואפים ל-$\mathbf{y=1}$ ו-$\mathbf{y=-1}$. \item[(4)] הנגזרת שלילית תמיד: הפונקציה \textbf{יורדת} לכל $x$ בתחום ההגדרה. עליה: \textbf{אין}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[(1)] הצבת הפונקציה: $g(x) = f(x+5) = \frac{x+5-5}{\sqrt{(x+5)^2-10(x+5)+24}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+10x+25-10x-50+24}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$. \\ בדיקה: $g(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2-1}} = -g(x)$. הפונקציה \textbf{אי-זוגית}. \item[(2)] סרטוט $g(x)$ הוא הזזה אופקית 5 יחידות שמאלה של הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 11 % ========================================== \section*{תרגיל 11} נתונה הפונקציה: ${\color{winered} f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} }$. ${\color{winered} a }$ הוא פרמטר. \\ ענה על הסעיפים א-ה עבור ${\color{winered} a>0 }$. הבע את תשובותיך באמצעות ${\color{winered} a }$ במידת הצורך. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים. \item מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] רשום את האסימפטוטות המאונכות לצירים של גרף הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$. \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 11} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item $x^2-a^2 > 0 \implies \mathbf{x > a}$ או $\mathbf{x < -a}$. \item אנכיות בנקודות איפוס המכנה: $\mathbf{x=a, x=-a}$. \\ אופקיות: בגבול $x \to \infty$ נקבל $y=1$. בגבול $x \to -\infty$ נקבל $\mathbf{y=-1}$. \item נגזור את הפונקציה. המונה המתקבל הוא תמיד שלילי (מינוס קבוע). תחומי ירידה: $\mathbf{x > a}$ או $\mathbf{x < -a}$. עליה: \textbf{אין}. \item הפונקציה יורדת בענף הימני מאינסוף ל-1 ובענף השמאלי מ-מינוס 1 למינוס אינסוף. \item \begin{enumerate} \item[(1)] מאחר שהפונקציה יורדת תמיד לכל $x$ לאסימפטוטה אופקית, הנגזרת תשאף ל-0 באינסוף ולמינוס אינסוף באסימפטוטה האנכית. אסימפטוטות הנגזרת: אנכיות: $\mathbf{x=a, x=-a}$. אופקית: $\mathbf{y=0}$. \item[(2)] גרף הנגזרת נמצא כולו מתחת לציר ה-$x$ שכן הפונקציה תמיד יורדת. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 12 % ========================================== \section*{תרגיל 12} נתונה פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} }$. \\ הישר ${\color{winered} y=\frac{1}{3}x+3 }$ חותך את הגרף של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ בנקודה שבה ${\color{winered} x=0 }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא את הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ ושל הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$? \item[(2)] מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$. \item[(3)] מצא את נקודות החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(4)] מצא את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ (אם יש כאלה). \item[(5)] סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$. \item[(6)] הוסף לסקיצה סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$. \end{enumerate} \item נתונות שתי משוואות: I. ${\color{winered} \sqrt{x^2+9}=k }$, \quad II. ${\color{winered} \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}=k }$. נתון ${\color{winered} k>0 }$. \\ מצא את תחום הערכים של ${\color{winered} k }$ שעבורם אין פתרון למשוואה I וגם אין פתרון למשוואה II. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 12} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item האינטגרל של הנגזרת הוא $f(x) = \sqrt{x^2+9} + C$. הצבת $x=0$ בישר הנתון נותנת $y=3$. הצבת $(0,3)$ בפונקציה מניבה $\sqrt{0+9} + C = 3 \implies 3+C=3 \implies C=0$. \\ לכן הפונקציה היא $\mathbf{f(x) = \sqrt{x^2+9}}$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] שתיהן מוגדרות לכל ${\color{winered} x }$. \item[(2)] אסימפטוטות הנגזרת: $\mathbf{y=1, y=-1}$. \item[(3)] חיתוך של הנגזרת עם הצירים: $\mathbf{(0,0)}$. \item[(4)] נגזרת של הנגזרת (נגזרת שנייה) תמיד חיובית, ולכן $f'(x)$ \textbf{תמיד עולה}. \item[(5)] הנגזרת היא פונקציה דמוית טנגנס היפרבולי העולה מ-$y=-1$ ל-$y=1$ דרך הראשית. \item[(6)] הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה מינימלית בקודקוד $(0,3)$ שעולה ויורדת באופן סימטרי. \end{enumerate} \item משוואה I דורשת $k \ge 3$ כדי שיהיה לה פתרון. כלומר \textbf{אין לה פתרון} עבור $k < 3$. \\ משוואה II היא פונקציית הנגזרת החסומה בין $y=-1$ ל-$y=1$. לכן \textbf{אין לה פתרון} עבור $k \ge 1$ (או $k \le -1$). \\ חיתוך התנאים ($k<3$ וגם $k \ge 1$) תחת הנתון $k>0$: $\mathbf{1 \le k < 3}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 13 % ========================================== \section*{תרגיל 13} נתונות הפונקציות: ${\color{winered} f(x)=\sqrt{\frac{x}{1+x^2}} }$, \quad ${\color{winered} g(x)=\frac{1}{\sqrt{3x^2+2}} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא עבור כל אחת מהפונקציות: \begin{enumerate} \item[(1)] את תחום ההגדרה. \item[(2)] את האסימפטוטות המאונכות לצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] את השיעורים של נקודות הקיצון (אם יש כאלה), וקבע את סוגן. \end{enumerate} \item סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ וסקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$, אם ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה אחת בלבד. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} h(x)=g(x)-k }$, ${\color{winered} k>0 }$. \\ עבור אילו ערכים של ${\color{winered} k }$ אין לפונקציה ${\color{winered} h(x) }$ נקודות חיתוך עם הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$? נמק. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 13} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item עבור $f(x)$: (1) השורש חיובי, המכנה תמיד חיובי, לכן $\mathbf{x \ge 0}$. (2) $\mathbf{y=0}$. (3) מקסימום מקומי ב-$\mathbf{(1, \frac{1}{\sqrt{2}})}$ ומינימום קצה ב-$\mathbf{(0,0)}$. \\ עבור $g(x)$: (1) המכנה תמיד גדול מ-0 ולכן ההגדרה לכל ${\color{winered} x }$. (2) $\mathbf{y=0}$. (3) מקסימום ב-$\mathbf{(0, \frac{1}{\sqrt{2}})}$. \item $f(x)$ יוצאת מ-(0,0), עולה למקסימום ב-$x=1$ ויורדת לאסימפטוטה. $g(x)$ יוצאת ממקסימום ב-$x=0$ ויורדת סימטרית לשני הצדדים. החיתוך היחיד שלהן הוא אי שם בירידה של $g$ ובעלייה של $f$. \item $h(x)$ היא בעצם הפונקציה $g(x)$ מוזזת למטה. הפונקציה $f(x)$ מגיעה לשיאה ב-$\frac{1}{\sqrt{2}}$. אם נוריד את שיאה של $g(x)$ מתחת לציר, שתי הפונקציות לא ייפגשו. כלומר $\mathbf{k > \frac{\sqrt{2}}{2}}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 14 % ========================================== \section*{תרגיל 14} מוצגת סקיצה של הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{\sqrt{12x^3-x^5}}{x} }$, שתחום ההגדרה שלה הוא ${\color{winered} x \le -2\sqrt{3} }$, או ${\color{winered} 0 < x \le 2\sqrt{3} }$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered, domain=0.01:3.46, samples=100] plot (\x, {sqrt(12*\x - \x^3)}); \draw[thick, winered, domain=-5:-3.46, samples=100] plot (\x, {-sqrt(abs(12*\x - \x^3))}); \fill (3.46,0) circle (4pt); \fill (-3.46,0) circle (4pt); \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item הישר ${\color{winered} y=k }$ חותך את גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ בשתי נקודות בדיוק. מצא את תחום הערכים של ${\color{winered} k }$. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=\sqrt{12x-x^3} }$. \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \item[(2)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \item[(3)] עבור הערכים של ${\color{winered} k }$ שמצאת בסעיף א', מצא בכמה נקודות חותך הישר ${\color{winered} y=k }$ את גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 14} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item הגרף של $f(x)$ מורכב מחלק ימני חיובי בעל מקסימום וחלק שמאלי שלילי לחלוטין. ישר אופקי חותך בשתי נקודות רק אם הוא חותך את ה"כיפה" מימין פעמיים. המקסימום המקומי מתקבל כאשר הנגזרת מתאפסת ב-$x=2$, ושיעור ה-$y$ שלו הוא 4. לכן התחום: $\mathbf{0 < k < 4}$. \item \begin{enumerate} \item[(1)] $g(x)$ היא הפונקציה לפני החלוקה ב-$x$. עבור $x>0$ היא זהה ל-$f(x)$, אולם עבור $x<0$ היא \textbf{חיובית} (כי המונה המקורי תמיד חיובי מתוקף היותו שורש). נקודות הקיצון זהות (בערכן המוחלט). תחומי עלייה: $\mathbf{0 < x < 2}$. תחומי ירידה: $\mathbf{x < -2\sqrt{3}}$ או $\mathbf{2 < x < 2\sqrt{3}}$. \item[(2)] הגרף של $g(x)$ מורכב מהכיפה הימנית כמו ב-$f(x)$, אך משמאל הוא ענף היורד מהאינסוף וחותך ב- $-2\sqrt{3}$. \item[(3)] עבור $0 < k < 4$, הישר יחתוך את הכיפה הימנית ב-2 נקודות ואת הענף השמאלי בנקודה אחת. לכן, סה"כ $\mathbf{3}$ נקודות חיתוך. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 15 % ========================================== \begin{flushright} \textbf{\Large 15. מועד ב - 2014} \end{flushright} \vspace{0.5cm} \noindent 6. \quad נתונות שתי פונקציות: \begin{center} $$ {\color{winered} f(x) = x\sqrt{8-x^2} } $$ $$ {\color{winered} g(x) = \sqrt{8x^2-x^4} } $$ \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה. \\ מצא את תחום ההגדרה. \item[(2)] מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות ${\color{winered} f(x) }$ ו־${\color{winered} g(x) }$ עם הצירים. \end{enumerate} \item מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות, וקבע את סוגן. \item על פי הסעיפים א ו־ב, סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$, \\ וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. \item לפניך ארבעה גרפים, IV-I. \\ איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת ${\color{winered} g'(x) }$? נמק. \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tabular}{cccc} % גרף I \begin{tikzpicture}[scale=0.35] \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {x}; \draw[-latex] (0,-4.5) -- (0,4.5) node[left] {y}; \draw[densely dashed] (-2.82,-4.5) -- (-2.82,4.5); \draw[densely dashed] (2.82,-4.5) -- (2.82,4.5); \draw[thick, domain=-2.5:-0.15, samples=50] plot (\x, {(2*\x*\x - 8)/sqrt(8-\x*\x)}); \draw[thick, domain=0.15:2.5, samples=50] plot (\x, {(8 - 2*\x*\x)/sqrt(8-\x*\x)}); \filldraw[fill=white, draw=black] (0,-2.82) circle (4pt); \filldraw[fill=white, draw=black] (0,2.82) circle (4pt); \node at (0,-5.5) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % גרף II \begin{tikzpicture}[scale=0.35] \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {x}; \draw[-latex] (0,-4.5) -- (0,4.5) node[left] {y}; \draw[densely dashed] (-2.82,-4.5) -- (-2.82,4.5); \draw[densely dashed] (2.82,-4.5) -- (2.82,4.5); \draw[thick, domain=-2.5:-0.15, samples=50] plot (\x, {(8 - 2*\x*\x)/sqrt(8-\x*\x)}); \draw[thick, domain=0.15:2.5, samples=50] plot (\x, {(2*\x*\x - 8)/sqrt(8-\x*\x)}); \filldraw[fill=white, draw=black] (0,2.82) circle (4pt); \filldraw[fill=white, draw=black] (0,-2.82) circle (4pt); \node at (0,-5.5) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} & % גרף III \begin{tikzpicture}[scale=0.35] \draw[-latex] (-3.3,0) -- (3.3,0) node[below] {x}; \draw[-latex] (0,-4.5) -- (0,4.5) node[left] {y}; \draw[densely dashed] (-2.82,-4.5) -- (-2.82,4.5); \draw[densely dashed] (2.82,-4.5) -- (2.82,4.5); \draw[thick, domain=-2.5:2.5, samples=100] plot (\x, {-\x*(\x*\x - 4)/sqrt(8-\x*\x)}); \node at (0,-5.5) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % גרף IV \begin{tikzpicture}[scale=0.35] \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {x}; \draw[-latex] (0,-4.5) -- (0,4.5) node[left] {y}; \draw[densely dashed] (-2.82,-4.5) -- (-2.82,4.5); \draw[densely dashed] (2.82,-4.5) -- (2.82,4.5); \draw[thick, domain=-2.5:2.5, samples=100] plot (\x, {\x*(\x*\x - 4)/sqrt(8-\x*\x)}); \node at (0,-5.5) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \newpage % ========================================== % תרגיל 16 % ========================================== \section*{תרגיל 16} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-9}} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצא: \begin{enumerate} \item[(1)] את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item[(2)] את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. \item[(4)] את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 16} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] דרישת המכנה: $x^2-9 > 0 \implies \mathbf{x > 3}$ או $\mathbf{x < -3}$. \item[(2)] כדי שיהיה חיתוך עם $x$, המונה צריך להתאפס: $x=-1$, אך ערך זה אינו בתחום ההגדרה. גם $x=0$ מחוץ לתחום. לכן \textbf{אין חיתוך עם הצירים}. \item[(3)] אסימפטוטות אנכיות (המכנה מתאפס והמונה לא): $\mathbf{x=3, x=-3}$. \\ אסימפטוטות אופקיות: באינסוף $\mathbf{y=1}$, במינוס אינסוף $\mathbf{y=-1}$. \item[(4)] הנגזרת תמיד שלילית. תחומי ירידה: $\mathbf{x > 3}$ או $\mathbf{x < -3}$. עליה: \textbf{אין}. \end{enumerate} \item סקיצה המראה שני ענפים יורדים לכיוון האסימפטוטות האופקיות. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 17 % ========================================== \section*{תרגיל 17} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{x}{\sqrt{2x}-2} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item[(2)] מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). \item[(3)] מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). \item[(4)] מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. \item[(5)] סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. \end{enumerate} \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$, המוגדרת בתחום ההגדרה של ${\color{winered} f(x) }$. הנגזרת של ${\color{winered} g(x) }$ מקיימת: ${\color{winered} g'(x)=f(x)\cdot f'(x) }$. \\ מצא את תחום הירידה של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$. נמק. \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 17} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] השורש דורש $x \ge 0$. המכנה דורש $\sqrt{2x} \ne 2 \implies 2x \ne 4 \implies x \ne 2$. לכן: $\mathbf{x \ge 0, x \ne 2}$. \item[(2)] אסימפטוטה אנכית ב-$\mathbf{x=2}$. אין אופקית (חזקת המונה גדולה מ-$0.5$). \item[(3)] חיתוך צירים ב-$\mathbf{(0,0)}$. \item[(4)] נגזור ונשווה לאפס: מתקבלת נקודת מינימום מקומית ב-$\mathbf{(8,4)}$. הנקודה $\mathbf{(0,0)}$ היא מקסימום קצה. \item[(5)] סקיצה של פונקציה עם ענף שמאלי שיורד מ-0 ועד לאסימפטוטה השלילית, וענף ימני היורד מאינסוף לנקודת המינימום (8,4) ומשם עולה. \end{enumerate} \item כדי ש-$g(x)$ תרד, נדרש ש-$g'(x) < 0$. זה אומר ש-$f(x)$ ו-$f'(x)$ צריכות להיות בעלות סימנים שונים. \\ בתחום $x>2$, הפונקציה $f(x)$ חיובית תמיד. הנגזרת שלה שלילית בתחום שבין 2 ל-8 (שם היא יורדת למינימום). לכן בתחום זה המכפלה שלילית. תחומי ירידה של $g$: $\mathbf{2 < x < 8}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 18 % ========================================== \section*{תרגיל 18} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2-a^2}} }$. ${\color{winered} a }$ הוא פרמטר שונה מאפס. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item עבור ${\color{winered} a>0 }$ מצא (הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ במידת הצורך): \begin{enumerate} \item[(1)] את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item[(2)] את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. \item[(3)] תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). \item[(4)] נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). \end{enumerate} \item סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ${\color{winered} a>0 }$. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x)=f(x)-a }$, ${\color{winered} a>0 }$. \begin{enumerate} \item[(1)] מה הן האסימפטוטות של הפונקציה ${\color{winered} g(x) }$? (הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ במידת הצורך.) \item[(2)] מה הם הערכים שהפונקציה ${\color{winered} g(x) }$ יכולה לקבל? (הבע באמצעות ${\color{winered} a }$ במידת הצורך.) \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{פתרון תרגיל 18} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \begin{enumerate} \item[(1)] תחום הגדרה: $\mathbf{x > a}$ או $\mathbf{x < -a}$. \item[(2)] אסימפטוטות אנכיות: $\mathbf{x=a, x=-a}$. אסימפטוטות אופקיות: $\mathbf{y=a, y=-a}$. \item[(3)] נגזרת שלילית. הפונקציה יורדת לכל $x$ בתחום ההגדרה. (ירידה: $\mathbf{x > a}$ או $\mathbf{x < -a}$, עלייה: אין). \item[(4)] לא מוגדר ב-0. אין חיתוך עם הצירים. \end{enumerate} \item שני ענפים היורדים מהאינסוף האנכי אל האסימפטוטות האופקיות. \item \begin{enumerate} \item[(1)] הפונקציה $g(x)$ היא הזזה אנכית של $f(x)$ מטה ב-$a$ יחידות. לכן האסימפטוטות האנכיות נשארות $\mathbf{x=\pm a}$. האופקיות יורדות ב-$a$, ולכן $\mathbf{y=0}$ ו-$\mathbf{y=-2a}$. \item[(2)] ערכי ה-y האפשריים זזים גם הם ב-$a$. מאחר ו-$f$ קיבלה ערכים מעל $a$ ומתחת ל- $-a$, הפונקציה $g$ תקבל ערכים $\mathbf{g(x) > 0}$ ו-$\mathbf{g(x) < -2a}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}

חקירת שורש ומנה