\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- חבילות בסיסיות --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2.5cm, bottom=3.5cm, top=2.5cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{xcolor} \usepackage{tikz} \usepackage{enumitem} % --- הגדרת צבע אדום-יין --- \definecolor{winered}{RGB}{142, 36, 48} % --- הגדרות שפה (עברית) --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} % --- הגדרת כותרת תחתונה (זכויות יוצרים) --- \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % הסרת הקו העליון \cfoot{\footnotesize כל הזכויות שמורות ל-גיא קורן, אין להעתיק, לפרסם, את המסמך הזה או חלק ממנו ללא אישור בכתב.} \lfoot{\thepage} % --- הגדרת ריווח 1.5 בין שורות --- \linespread{1.5} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{5 יח"ל - שאלון 571 - בחינת בגרות דמה} \\[0.2cm] \large \textbf{מאת גיא קורן} \end{center} \vspace{1cm} % ========================================== % שאלה 1 % ========================================== \section*{שאלה 1} ענו על כל הסעיפים א-ד. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=1cm, leftmargin=*] % --- סעיף א - גיאומטריה --- \item בסרטוט שלפניכם מתוארת מקבילית ${\color{winered} ABCD }$. \\ הנקודה ${\color{winered} E }$ נמצאת על הצלע ${\color{winered} DC }$ כך ש־${\color{winered} \frac{DE}{EC} = \frac{1}{2} }$. \\ הקטע ${\color{winered} AE }$ חותך את האלכסון ${\color{winered} BD }$ בנקודה ${\color{winered} M }$. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=1] \coordinate (D) at (0,0); \coordinate (C) at (6,0); \coordinate (A) at (2,3); \coordinate (B) at (8,3); \coordinate (E) at (2,0); \coordinate (M) at (2, 0.75); \draw[thick, winered] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw[thick, winered] (A) -- (E); \draw[thick, winered] (B) -- (D); \fill (A) circle (2pt) node[above left, black] {A}; \fill (B) circle (2pt) node[above right, black] {B}; \fill (C) circle (2pt) node[below right, black] {C}; \fill (D) circle (2pt) node[below left, black] {D}; \fill (E) circle (2pt) node[below, black] {E}; \fill (M) circle (2pt) node[below right, black] {M}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הראו כי ${\color{winered} \triangle ABM \sim \triangle EDM }$. \item מצאו את היחס ${\color{winered} \frac{DM}{MB} }$. \end{enumerate} % --- סעיף ב - חקירת פונקציות --- \item נתונות הפונקציות ${\color{winered} f(x) = x^k(x-4) }$ ו־${\color{winered} g(x) = x^k(x+4) }$ המוגדרות לכל ${\color{winered} x }$. \\ ${\color{winered} k }$ הוא פרמטר טבעי גדול מ־1. \\ כל אחד מן הגרפים IV-I שלפניכם מייצג אחת מן הפונקציות ${\color{winered} f(x) }$ או ${\color{winered} g(x) }$ עבור ${\color{winered} k }$ זוגי או ${\color{winered} k }$ אי-זוגי. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tabular}{cc} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-3) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-3,4) .. controls (-1,-2) and (1,-2) .. (4.5,4); \node at (0,-4) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-4) -- (0,3) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4.5,3) .. controls (-1,-2) and (1,-2) .. (3,4); \node at (0,-5) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-3) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4.5,-3) .. controls (-2,3) and (-0.5,0) .. (0,0) .. controls (0.5,0) and (2,-2) .. (4.5,4); \node at (0,-4) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-3) -- (0,4) node[above] {$y$}; \draw[thick, winered] (-4.5,-3) .. controls (-1,2) and (1,-2) .. (4.5,4); \node at (0,-4) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item התאימו לכל אחד מן הגרפים IV-I את הפונקציה (${\color{winered} f(x) }$ או ${\color{winered} g(x) }$) המתאימה לו, וקבעו האם היא משורטטת עבור ${\color{winered} k }$ זוגי או אי-זוגי. \item הציבו ${\color{winered} k=2 }$ וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ ועל ידי ציר ה־${\color{winered} x }$. \end{enumerate} % --- סעיף ג - הסתברות --- \item במפעל מיוצרים רכיבים אלקטרוניים על ידי שתי מכונות, ${\color{winered} A }$ ו־${\color{winered} B }$. \\ המכונה ${\color{winered} A }$ מייצרת ${\color{winered} 60\% }$ מכלל הרכיבים במפעל, והמכונה ${\color{winered} B }$ מייצרת את השאר. \\ ההסתברות שרכיב המיוצר במכונה ${\color{winered} B }$ הוא פגום גדולה פי ${\color{winered} 2 }$ מההסתברות שרכיב המיוצר במכונה ${\color{winered} A }$ הוא פגום. \\ ההסתברות לבחור באקראי רכיב פגום מבין כלל הרכיבים המיוצרים במפעל היא ${\color{winered} 0.14 }$. \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את ההסתברות שרכיב המיוצר במכונה ${\color{winered} A }$ הוא פגום. \item בוחרים באקראי רכיב מבין כל הרכיבים במפעל ונמצא שהוא פגום. מהי ההסתברות שהוא יוצר במכונה ${\color{winered} A }$? \end{enumerate} % --- סעיף ד - פונקציית הצטברות / קעירות --- \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} m(x) }$ שהיא פונקציה זוגית המוגדרת לכל ${\color{winered} x }$. \\ הגרף של ${\color{winered} m(x) }$ עולה בתחום ${\color{winered} x < -2 }$, יורד בתחום ${\color{winered} -2 < x < 0 }$, עולה בתחום ${\color{winered} 0 < x < 2 }$ ויורד בתחום ${\color{winered} x > 2 }$. \\ מגדירים פונקציה חדשה: ${\color{winered} q(x) = \int_{0}^{x} m(t)dt }$. \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item האם הפונקציה ${\color{winered} q(x) }$ היא זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו. \item קבעו באילו תחומים הפונקציה ${\color{winered} q(x) }$ קעורה כלפי מעלה ($\cup$) ובאילו היא קעורה כלפי מטה ($\cap$). נמקו. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 2 % ========================================== \section*{שאלה 2} נתונה סדרה הנדסית עולה ${\color{winered} a_1, a_2, a_3, \dots }$ \\ ההפרש בין האיבר השישי לאיבר השני גדול פי ${\color{winered} 10 }$ מההפרש שבין האיבר השלישי לראשון. כמו כן נתון שסכום האיברים הרביעי והשלישי גדול פי ${\color{winered} 12 }$ מהאיבר הראשון. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item מצאו את מנת הסדרה ${\color{winered} q }$. \item נתון כי ${\color{winered} q=2 }$ ו־${\color{winered} a_1=3 }$. ידוע כי בסדרה ישנם שני איברים שההפרש ביניהם הוא ${\color{winered} 84 }$, ובין שני איברים אלו יש בדיוק ${\color{winered} 2 }$ איברים נוספים. מצאו את שני האיברים הללו. \item בנו סדרה חדשה: ${\color{winered} c_1=a_1\cdot a_2, c_2=a_2\cdot a_3, c_3=a_3\cdot a_4, \dots, c_n=a_n\cdot a_{n+1} }$. \\ הוכיחו שהסדרה החדשה היא סדרה הנדסית. \item ידוע שבסדרה החדשה יש מספר זוגי של איברים. סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה החדשה הוא ${\color{winered} 20,132,658 }$. מצאו את מספר האיברים בסדרה החדשה. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 3 % ========================================== \section*{שאלה 3} מבין כל תלמידי י"ב בעיר מסוימת מאתרים תלמידים שיתאימו לקורס ייחודי. הקורס מתאים לתלמידים שיש להם יכולת טכנית. \\ הבוחנות מאבחנות ${\color{winered} 80\% }$ מבין התלמידים שאכן יש להם יכולת טכנית כבעלי יכולת כזו, ומאבחנות ${\color{winered} 10\% }$ מבין התלמידים שאין להם יכולת טכנית כבעלי יכולת טכנית. \\ מבין התלמידים שאובחנו כבעלי יכולת טכנית, אחוז התלמידים שאכן יש להם יכולת כזו גדול פי ${\color{winered} 4 }$ מאחוז התלמידים (בקבוצה זו) שאין להם יכולת טכנית. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item מהי ההסתברות שלתלמיד י"ב בעיר זו אכן יש יכולת טכנית? \item קבעו האם המאורע "בעל יכולת טכנית" והמאורע "אובחן כבעל יכולת טכנית" הם מאורעות תלויים. נמקו. \item באותה עיר, כל אלה שאובחנו כבעלי יכולת טכנית השתתפו בקורס, ורק הם. בעיר יש ${\color{winered} 600 }$ תלמידי י"ב. מבין המשתתפים בקורס, לכמה תלמידים אין יכולת טכנית? \item נבחרו ${\color{winered} 5 }$ משתתפים מבין אלה שאובחנו עם יכולת טכנית. מה ההסתברות שלפחות לאחד מהם יש יכולת טכנית אך לא לכולם? \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 4 % ========================================== \section*{שאלה 4} במלבן ${\color{winered} ABCD }$, הנקודה ${\color{winered} E }$ נמצאת על הצלע ${\color{winered} AD }$. \\ הקטע ${\color{winered} CE }$ חותך את האלכסון ${\color{winered} BD }$ בנקודה ${\color{winered} F }$. \\ המרובע ${\color{winered} EABF }$ הוא בר חסימה במעגל. נתון כי ${\color{winered} DE = EA }$. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \coordinate (D) at (0,0); \coordinate (C) at (6,0); \coordinate (B) at (6,4); \coordinate (A) at (0,4); \coordinate (E) at (0,2); % CE line: y = (-2/6)(x-6) = -1/3 x + 2 % BD line: y = (4/6)x = 2/3 x % Intersection F: 2/3 x = -1/3 x + 2 => x=2, y=4/3 \coordinate (F) at (2, 1.333); \draw[thick, winered] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; \draw[thick, winered] (B) -- (D); \draw[thick, winered] (C) -- (E); \fill (A) circle (2pt) node[above left, black] {A}; \fill (B) circle (2pt) node[above right, black] {B}; \fill (C) circle (2pt) node[below right, black] {C}; \fill (D) circle (2pt) node[below left, black] {D}; \fill (E) circle (2pt) node[left, black] {E}; \fill (F) circle (2pt) node[above, black] {F}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item חשבו את היחס ${\color{winered} \frac{EF}{FC} }$. \item נסמן את שטח המשולש ${\color{winered} \triangle DEF }$ ב־${\color{winered} S }$. הביעו את שטח המרובע ${\color{winered} FEAB }$ באמצעות ${\color{winered} S }$. \item חשבו את היחס ${\color{winered} \frac{CD}{BC} }$. \item נסמן ${\color{winered} DE = a }$. \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הביעו את אורך האלכסון ${\color{winered} BD }$ באמצעות ${\color{winered} a }$. \item הביעו את קוטר המעגל החוסם את המרובע ${\color{winered} EABF }$ באמצעות ${\color{winered} a }$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 5 % ========================================== \section*{שאלה 5} מעגל שמרכזו ${\color{winered} O }$ ורדיוסו ${\color{winered} R }$ חסום בטרפז שווה שוקיים ${\color{winered} ABCD }$ (${\color{winered} AB \parallel CD }$). \\ נתון: ${\color{winered} \angle BCD = 64^\circ }$. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[thick, winered] (0,0) circle (2); \fill (0,0) circle (2pt) node[right, black] {O}; % Trapezoid circumscribing circle % Base angles 64 degrees. \draw[thick, winered] (-1.25, 2) -- (1.25, 2) node[above right, black] {B} node[above left, pos=0, black] {A}; \draw[thick, winered] (-3.2, -2) -- (3.2, -2) node[below right, black] {C} node[below left, pos=0, black] {D}; \draw[thick, winered] (1.25, 2) -- (3.2, -2); \draw[thick, winered] (-1.25, 2) -- (-3.2, -2); \coordinate (F) at (0,-2); \fill (F) circle (2pt) node[below, black] {F}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item הביעו בעזרת ${\color{winered} R }$ את: \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item אורך הבסיס הגדול של הטרפז. \item אורך שוק הטרפז. \item אורך אלכסון הטרפז. \end{enumerate} \item מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החסום בטרפז ובין רדיוס המעגל החוסם את הטרפז. \item הצלע ${\color{winered} CD }$ משיקה למעגל החסום בנקודה ${\color{winered} F }$. נתון: ${\color{winered} BF = 8 }$. מצאו את ${\color{winered} R }$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 6 % ========================================== \section*{שאלה 6} \noindent \begin{minipage}[t]{0.55\textwidth} נתונה פונקציה ${\color{winered} f(x) }$ המוגדרת לכל ${\color{winered} x }$. \\ נתון שגרף הפונקציה חותך את ציר ה־${\color{winered} x }$ בנקודה שבה ${\color{winered} x=2 }$ ואת ציר ה־${\color{winered} y }$ בנקודה ${\color{winered} (0, 2\sqrt{2}) }$. \\ נסמן ב־${\color{winered} S_1 }$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, ציר ה־${\color{winered} x }$ וציר ה־${\color{winered} y }$. \\ נסמן ב־${\color{winered} S_2 }$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, ציר ה־${\color{winered} x }$ והישר ${\color{winered} x=7 }$. \\ נתון: ${\color{winered} \int_{0}^{7} f(x)dx = -2.25 }$ וכן ${\color{winered} S_1 + S_2 = 7.25 }$. \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \vspace{0pt} % Alignment fix for minipage \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] % Axes \draw[-latex, thick] (-1.5,0) -- (6,0) node[below] {$x$}; \draw[-latex, thick] (0,-4) -- (0,3) node[left] {$y$}; % Function curve \draw[thick, winered] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-1,2.8) (0,2) (1.5,0) (3,-2) (4.5,-2.8) (5.5,-3)}; % Dashed line (representing x=7 boundary) \draw[dashed, thick] (4.5,0) -- (4.5,-2.8); \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \end{minipage} \vspace{0.5cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item חשבו את ${\color{winered} S_1 }$. \item ${\color{winered} F(x) }$ היא הפונקציה הקדומה ל־${\color{winered} f(x) }$. נתון כי ${\color{winered} F(0) = 0 }$. חשבו את הערך של ${\color{winered} F(7) }$. \item לפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ יש נקודת פיתול ב־${\color{winered} x = 0.5 }$, אסימפטוטה אופקית ${\color{winered} y = -4 }$, ושיפוע המשיק לפונקציה בנקודה ${\color{winered} x=0 }$ הוא ${\color{winered} -2 }$. \\ שרטטו את גרף פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ בתחום ${\color{winered} x \ge 0 }$. \item קבעו האם לגרף פונקציית הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ יש נקודת פיתול בתחום זה. נמקו. \item נתונה הפונקציה ${\color{winered} g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt }$. רשמו את שיעור ה־${\color{winered} x }$ של נקודת הקיצון של ${\color{winered} g(x) }$ וקבעו את סוגה. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 7 % ========================================== \section*{שאלה 7} נתונה הפונקציה ${\color{winered} f(x) = a\sqrt{x^2-10x+b} }$ (${\color{winered} a>0 }$ ו־${\color{winered} b }$ חיוביים). הפונקציה המוגדרת לכל ${\color{winered} x }$ בתחום ${\color{winered} 0 \le x \le 4 }$. \\ בתחום הנתון, הערך המינימלי של הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ הוא ${\color{winered} 5 }$ והערך המקסימלי הוא ${\color{winered} 7 }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item מצאו את הפרמטרים ${\color{winered} a }$ ו־${\color{winered} b }$. \end{enumerate} הציבו ${\color{winered} a=1 }$ ו־${\color{winered} b=49 }$. נתונה פונקציה נוספת המקיימת ${\color{winered} h(x) = \sqrt{28 - f^2(x)} }$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ${\color{winered} h(x) }$. \item שרטטו גרף של הפונקציה ${\color{winered} h(x) }$. \item האם יש תחום שבו ${\color{winered} f'(x) }$ וגם ${\color{winered} h'(x) }$ חיוביים? נמקו. \item העבירו ישר המקביל לציר ה־${\color{winered} x }$ שמשוואתו ${\color{winered} y=k }$, אשר חותך את גרף הפונקציה ${\color{winered} h(x) }$ בשתי נקודות ${\color{winered} A }$ ו־${\color{winered} B }$ בהתאמה. \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item רשמו את תחום הערכים האפשרי של ${\color{winered} k }$. \item רשמו לאיזה ערך צריך לשאוף ${\color{winered} k }$ כך שאורך הקטע ${\color{winered} AB }$ יהיה מינימלי. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % שאלה 8 % ========================================== \section*{שאלה 8} בתוך ריבוע ${\color{winered} EFGH }$ חסום ריבוע ${\color{winered} KLIJ }$ כך שקודקודיו נמצאים על אמצעי הצלעות של ריבוע ${\color{winered} EFGH }$. \\ ריבוע ${\color{winered} EFGH }$ חסום בתוך ריבוע גדול ${\color{winered} ABCD }$ שאורך צלעו הוא ${\color{winered} b }$. \\ ידוע כי ההיקף המינימלי האפשרי של הריבוע הפנימי ${\color{winered} KLIJ }$ הוא ${\color{winered} 10 }$ ס"מ. \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] % Outer square ABCD \draw[thick, winered] (0,0) rectangle (6,6); \node[below left] at (0,0) {D}; \node[below right] at (6,0) {C}; \node[above right] at (6,6) {B}; \node[above left] at (0,6) {A}; % Inscribed square EFGH (tilted) % Let x = 2, so it connects (0,4) to (4,6) to (6,2) to (2,0) \coordinate (E) at (0,4); \coordinate (F) at (4,6); \coordinate (G) at (6,2); \coordinate (H) at (2,0); \draw[thick, winered] (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle; \node[left] at (E) {E}; \node[above] at (F) {F}; \node[right] at (G) {G}; \node[below] at (H) {H}; % Inscribed square JIKL at midpoints of EFGH \coordinate (J) at (2,5); \coordinate (K) at (5,4); \coordinate (L) at (4,1); \coordinate (I) at (1,2); \draw[thick, winered] (I) -- (J) -- (K) -- (L) -- cycle; \node[above left] at (J) {J}; \node[above right] at (K) {K}; \node[below right] at (L) {L}; \node[below left] at (I) {I}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} מצאו את ערכו של הפרמטר ${\color{winered} b }$. \newpage % ========================================== % פתרונות % ========================================== \begin{center} \LARGE \textbf{פתרונות מפורטים} \end{center} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 1 --- \textbf{פתרון שאלה 1:} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item במקבילית, צלעות נגדיות מקבילות זו לזו. לכן, ${\color{winered} AB \parallel DC }$. \\ מכיוון שהנקודה ${\color{winered} E }$ מונחת על ${\color{winered} DC }$, מתקיים גם ${\color{winered} AB \parallel DE }$. \\ בין ישרים מקבילים, זוויות מתחלפות שוות: ${\color{winered} \angle MAB = \angle MED }$ וכן ${\color{winered} \angle MBA = \angle MDE }$. \\ לפי משפט דמיון זווית-זווית (ז.ז), המשולשים דומים: ${\color{winered} \triangle ABM \sim \triangle EDM }$. \item יחס הדמיון בין המשולשים שווה ליחס הצלעות: ${\color{winered} \frac{DM}{MB} = \frac{DE}{AB} }$. \\ נתון כי ${\color{winered} \frac{DE}{EC} = \frac{1}{2} }$, לכן ${\color{winered} DE }$ הוא ${\color{winered} \frac{1}{3} }$ מאורך הצלע כולה ${\color{winered} DC }$. \\ במקבילית צלעות נגדיות שוות, ולכן ${\color{winered} AB = DC }$. \\ נציב ונקבל: ${\color{winered} \frac{DE}{AB} = \frac{\frac{1}{3}DC}{DC} = \frac{1}{3} }$. \\ מכאן שהיחס הוא ${\color{winered} \frac{DM}{MB} = \frac{1}{3} }$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים לכל פונקציה: \\ עבור ${\color{winered} f(x) = x^k(x-4) }$, החיתוך הוא ב־${\color{winered} x=0 }$ וב־${\color{winered} x=4 }$. \\ עבור ${\color{winered} g(x) = x^k(x+4) }$, החיתוך הוא ב־${\color{winered} x=0 }$ וב־${\color{winered} x=-4 }$. \\ כמו כן, התנהגות ב־${\color{winered} x=0 }$: אם ${\color{winered} k }$ זוגי, הגרף משיק לציר ה־${\color{winered} x }$ ב־0. אם ${\color{winered} k }$ אי-זוגי, הגרף חותך את ציר ה־${\color{winered} x }$ ב־0 (בנקודת פיתול). \\ לפיכך נתאים את הגרפים: \\ \textbf{גרף I:} חותך ב־0 וב־4, וב־0 הוא חותך (לא משיק). מתאים ל־${\color{winered} f(x) }$ עבור ${\color{winered} k }$ \textbf{אי-זוגי}. \\ \textbf{גרף II:} חותך ב־0 וב־$-4$, וב־0 משיק. מתאים ל־${\color{winered} g(x) }$ עבור ${\color{winered} k }$ \textbf{זוגי}. \\ \textbf{גרף III:} חותך ב־0 וב־$-4$, וב־0 חותך. מתאים ל־${\color{winered} g(x) }$ עבור ${\color{winered} k }$ \textbf{אי-זוגי}. \\ \textbf{גרף IV:} חותך ב־0 וב־4, וב־0 משיק. מתאים ל־${\color{winered} f(x) }$ עבור ${\color{winered} k }$ \textbf{זוגי}. \item עבור ${\color{winered} k=2 }$, הפונקציה היא ${\color{winered} f(x) = x^2(x-4) = x^3 - 4x^2 }$. \\ השטח הכלוא בין הגרף לציר ה־${\color{winered} x }$ נמצא בתחום ${\color{winered} 0 \le x \le 4 }$, ובו הפונקציה שלילית. לכן השטח הוא: $$ {\color{winered} S = \int_{0}^{4} -(x^3 - 4x^2)dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{4} } $$ נציב ${\color{winered} x=4 }$: $$ {\color{winered} S = -\frac{256}{4} + \frac{4(64)}{3} = -64 + \frac{256}{3} = -64 + 85\frac{1}{3} = 21\frac{1}{3} } $$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item נסמן ב־${\color{winered} p }$ את ההסתברות שרכיב המיוצר במכונה ${\color{winered} A }$ הוא פגום: ${\color{winered} P(\text{פגום} | A) = p }$. \\ לפי הנתון, ההסתברות שרכיב מיוצר במכונה ${\color{winered} B }$ הוא פגום גדולה פי 2: ${\color{winered} P(\text{פגום} | B) = 2p }$. \\ ידוע כי ${\color{winered} P(A) = 0.6 }$ ו־${\color{winered} P(B) = 0.4 }$. \\ לפי נוסחת ההסתברות השלמה: $$ {\color{winered} P(\text{פגום}) = P(\text{פגום} | A)P(A) + P(\text{פגום} | B)P(B) } $$ נציב את הנתונים (${\color{winered} P(\text{פגום}) = 0.14 }$): $$ {\color{winered} 0.14 = p \cdot 0.6 + 2p \cdot 0.4 \implies 0.14 = 0.6p + 0.8p \implies 1.4p = 0.14 } $$ נחלק ונקבל: ${\color{winered} p = 0.1 }$. \\ ההסתברות שרכיב מ־${\color{winered} A }$ יהיה פגום היא ${\color{winered} 0.1 }$. \item זוהי הסתברות מותנית (בייס). אנו מחפשים את ${\color{winered} P(A | \text{פגום}) }$: $$ {\color{winered} P(A | \text{פגום}) = \frac{P(\text{פגום} | A) \cdot P(A)}{P(\text{פגום})} = \frac{0.1 \cdot 0.6}{0.14} = \frac{0.06}{0.14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} } $$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הפונקציה ${\color{winered} q(x) = \int_{0}^{x} m(t)dt }$ היא אינטגרל של פונקציה זוגית (מהאפס). \\ אינטגרל כזה נותן פונקציה \textbf{אי-זוגית}. \\ הוכחה: נציב ${\color{winered} -x }$ בתוך הפונקציה: ${\color{winered} q(-x) = \int_{0}^{-x} m(t)dt }$. נבצע החלפת משתנים ${\color{winered} t = -u \implies dt = -du }$. הגבולות משתנים מ־${\color{winered} 0 \to 0 }$ ומ־${\color{winered} -x \to x }$: $$ {\color{winered} q(-x) = \int_{0}^{x} m(-u)(-du) } $$ כיוון ש־${\color{winered} m }$ זוגית (${\color{winered} m(-u) = m(u) }$), נקבל: $$ {\color{winered} q(-x) = -\int_{0}^{x} m(u)du = -q(x) } $$ \item קעירות הפונקציה ${\color{winered} q(x) }$ נקבעת על ידי הנגזרת השנייה שלה. לפי המשפט היסודי: ${\color{winered} q'(x) = m(x) }$, ולכן ${\color{winered} q''(x) = m'(x) }$. \\ כאשר ${\color{winered} m(x) }$ \textbf{עולה}, ${\color{winered} m'(x) > 0 \implies q''(x) > 0 }$, ולכן ${\color{winered} q(x) }$ \textbf{קעורה כלפי מעלה ($\cup$)} (בתחומים: ${\color{winered} x < -2 }$ ו־${\color{winered} 0 < x < 2 }$). \\ כאשר ${\color{winered} m(x) }$ \textbf{יורדת}, ${\color{winered} m'(x) < 0 \implies q''(x) < 0 }$, ולכן ${\color{winered} q(x) }$ \textbf{קעורה כלפי מטה ($\cap$)} (בתחומים: ${\color{winered} -2 < x < 0 }$ ו־${\color{winered} x > 2 }$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 2 --- \textbf{פתרון שאלה 2 (סדרות):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item נתרגם את הנתונים למשוואות. ההפרש בין השישי לשני: ${\color{winered} a_6 - a_2 = 10(a_3 - a_1) }$. לפי איבר כללי בסדרה הנדסית: $$ {\color{winered} a_1q^5 - a_1q = 10(a_1q^2 - a_1) } $$ כיוון ש-${\color{winered} a_1 \neq 0 }$, נחלק ב-${\color{winered} a_1 }$ ונוציא גורמים משותפים: $$ {\color{winered} q(q^4 - 1) = 10(q^2 - 1) } $$ לפי כפל מקוצר ${\color{winered} q^4 - 1 = (q^2 - 1)(q^2 + 1) }$: $$ {\color{winered} q(q^2 - 1)(q^2 + 1) = 10(q^2 - 1) } $$ הסדרה עולה, לכן ${\color{winered} q \neq \pm 1 }$. נצמצם ונקבל: $$ {\color{winered} q(q^2 + 1) = 10 \implies q^3 + q - 10 = 0 } $$ ננחש שורש: עבור ${\color{winered} q=2 }$, נקבל ${\color{winered} 8 + 2 - 10 = 0 }$. לכן המנה היא ${\color{winered} q=2 }$. \item מצאנו ${\color{winered} q=2 }$. נתון גם ${\color{winered} a_1=3 }$. שני איברים שיש ביניהם 2 איברים הם למעשה ${\color{winered} a_{n+3} }$ ו-${\color{winered} a_n }$. $$ {\color{winered} a_{n+3} - a_n = 84 \implies a_1q^{n+2} - a_1q^{n-1} = 84 } $$ נציב את ${\color{winered} a_1 }$ ו-${\color{winered} q }$: $$ {\color{winered} 3 \cdot 2^{n+2} - 3 \cdot 2^{n-1} = 84 \implies 2^{n-1}(3 \cdot 2^3 - 3) = 84 } $$ $$ {\color{winered} 2^{n-1}(24 - 3) = 84 \implies 21 \cdot 2^{n-1} = 84 \implies 2^{n-1} = 4 \implies n-1 = 2 \implies n=3 } $$ האיברים הם האיבר השלישי והשישי. $$ {\color{winered} a_3 = 3 \cdot 2^2 = 12 \quad , \quad a_6 = 3 \cdot 2^5 = 96 } $$ \item נחשב את מנת הסדרה החדשה ${\color{winered} c_n }$ כדי להראות שהיא קבועה: $$ {\color{winered} \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1} \cdot a_{n+2}}{a_n \cdot a_{n+1}} = \frac{a_{n+2}}{a_n} = q^2 = 2^2 = 4 } $$ המנה קבועה, לכן הסדרה הנדסית. \item יש מספר זוגי של איברים (${\color{winered} 2N }$). המקומות האי-זוגיים מהווים סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא ${\color{winered} c_1 = a_1 \cdot a_2 = 3 \cdot 6 = 18 }$. מנת הסדרה במקומות האי-זוגיים היא ה"קפיצה" הכפולה: ${\color{winered} Q = (q^2)^2 = 4^2 = 16 }$. סכום ${\color{winered} N }$ האיברים האלה הוא ${\color{winered} 20,132,658 }$: $$ {\color{winered} S_N = c_1 \frac{Q^N - 1}{Q - 1} = 18 \frac{16^N - 1}{15} = 20,132,658 } $$ $$ {\color{winered} \frac{16^N - 1}{15} = 1,118,481 \implies 16^N - 1 = 16,777,215 \implies 16^N = 16,777,216 } $$ נקבל ש-${\color{winered} N = 6 }$. מספר האיברים הכולל בסדרה החדשה הוא ${\color{winered} 2N = 12 }$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 3 --- \textbf{פתרון שאלה 3 (הסתברות):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item נסמן: המאורע $A$ = בעל יכולת טכנית. המאורע $B$ = אובחן כבעל יכולת. \\ נסמן ${\color{winered} P(A) = x }$. לכן ${\color{winered} P(\overline{A}) = 1-x }$. \\ נתון: ${\color{winered} P(B | A) = 0.8 }$ ו-${\color{winered} P(B | \overline{A}) = 0.1 }$. \\ נתון נוסף על שאובחנו (בתוך $B$): אחוז בעלי היכולת (החיתוך) גדול פי 4 מאחוז חסרי היכולת: $$ {\color{winered} P(A | B) = 4 \cdot P(\overline{A} | B) } $$ מכאן אנו מבינים ש-${\color{winered} P(A \cap B) = 4 \cdot P(\overline{A} \cap B) }$. \\ נחשב את החיתוכים: $$ {\color{winered} P(A \cap B) = P(B | A) \cdot P(A) = 0.8x } $$ $$ {\color{winered} P(\overline{A} \cap B) = P(B | \overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = 0.1(1-x) } $$ נציב במשוואה: $$ {\color{winered} 0.8x = 4 \cdot 0.1(1-x) \implies 0.8x = 0.4 - 0.4x \implies 1.2x = 0.4 \implies x = \frac{1}{3} } $$ ההסתברות שלתלמיד אכן יש יכולת טכנית היא ${\color{winered} \frac{1}{3} }$. \item מאורעות $A$ ו-$B$ תלויים אם ${\color{winered} P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) }$. \\ נמצא את ההסתברויות: $$ {\color{winered} P(A) = \frac{1}{3} } $$ $$ {\color{winered} P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0.8\left(\frac{1}{3}\right) + 0.1\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{0.8}{3} + \frac{0.2}{3} = \frac{1}{3} } $$ $$ {\color{winered} P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} } $$ אבל החיתוך הוא: ${\color{winered} P(A \cap B) = 0.8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15} }$. \\ כיוון ש-${\color{winered} \frac{1}{9} \neq \frac{4}{15} }$, המאורעות \textbf{תלויים}. \item בסך הכל ${\color{winered} 600 }$ תלמידים. אלה שאובחנו הם קבוצת $B$. מספר התלמידים בקורס: ${\color{winered} 600 \cdot P(B) = 600 \cdot \frac{1}{3} = 200 }$. \\ אנו מחפשים כמה מתוכם \textbf{אין} להם יכולת טכנית, כלומר קבוצת החיתוך ${\color{winered} \overline{A} \cap B }$. ההסתברות שלהם מתוך כולם היא ${\color{winered} P(\overline{A} \cap B) = 0.1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{15} }$. מספר התלמידים הוא ${\color{winered} 600 \cdot \frac{1}{15} = 40 }$ תלמידים. \item נבחרו 5 משתתפים מתוך אלה שאובחנו. זוהי הסתברות מותנית: ההסתברות שלמשתתף (שנבחר מהקורס) יש יכולת טכנית היא: $$ {\color{winered} P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{4/15}{1/3} = \frac{4}{5} = 0.8 } $$ אנו מחפשים את ההסתברות שבלפחות אחד יש יכולת אך לא בכולם (בין 1 ל-4 הצלחות). מתוך בינום עם ${\color{winered} n=5, p=0.8 }$: $$ {\color{winered} P(1 \le k \le 4) = 1 - P(k=0) - P(k=5) = 1 - 0.2^5 - 0.8^5 } $$ $$ {\color{winered} = 1 - 0.00032 - 0.32768 = 0.672 } $$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 4 --- \textbf{פתרון שאלה 4 (גיאומטריה):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item המרובע ${\color{winered} EABF }$ בר חסימה, ולכן סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$. במלבן מתקיים ${\color{winered} \angle EAB = 90^\circ }$, ולכן גם הזווית הנגדית לה במרובע החסום חייבת להיות يשרה: ${\color{winered} \angle EFB = 90^\circ }$. כלומר ${\color{winered} CE \perp BD }$. \\ במשולש ישר הזווית ${\color{winered} \triangle CDE }$ (זווית ישרה ב-$D$), הקטע ${\color{winered} DF }$ הוא הגובה ליתר ${\color{winered} CE }$. נתון ${\color{winered} DE = EA }$, ומכיוון ש-${\color{winered} AD = BC }$, מתקיים ש-${\color{winered} DE = \frac{1}{2}BC }$. \\ המשולשים ${\color{winered} \triangle DEF }$ ו-${\color{winered} \triangle BCF }$ דומים (משולשים ישרי זווית עם זוויות קודקודיות שוות ב-$F$). יחס הדמיון הוא יחס היתרים: ${\color{winered} \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2} }$. \\ מכאן נובע שיחס הניצבים הוא: ${\color{winered} \frac{EF}{FC} = \frac{1}{2} }$. \item שטח ${\color{winered} \triangle DEF = S }$. לפי יחס הדמיון ($1:2$), יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, כלומר $1:4$. לכן ${\color{winered} S_{\triangle BCF} = 4S }$. \\ המשולשים ${\color{winered} \triangle DEF }$ ו-${\color{winered} \triangle CDF }$ חולקים את אותו הגובה לצלע ${\color{winered} EC }$. היחס בין שטחיהם הוא כיחס הבסיסים שלהם ${\color{winered} \frac{EF}{FC} = \frac{1}{2} }$. לכן ${\color{winered} S_{\triangle CDF} = 2S }$. \\ שטח כל המשולש ${\color{winered} \triangle BCD }$ הוא סכום שני השטחים: ${\color{winered} S_{\triangle BCF} + S_{\triangle CDF} = 4S + 2S = 6S }$. \\ שטח המלבן ${\color{winered} ABCD }$ כפול משטח משולש זה: ${\color{winered} 12S }$. \\ שטח המשולש ${\color{winered} \triangle CDE = S_{\triangle DEF} + S_{\triangle CDF} = S + 2S = 3S }$. \\ שטח המשולש ${\color{winered} \triangle BCE }$ הוא בעל אותו בסיס ${\color{winered} BC }$ כגובה המלבן וגובה ${\color{winered} CD }$ כרוחב, לכן שטחו הוא מחצית שטח המלבן, ${\color{winered} 6S }$. \\ שטח המרובע ${\color{winered} FEAB }$ הוא שטח המלבן כולו פחות המשולשים ${\color{winered} \triangle CDE }$ ו-${\color{winered} \triangle BCE }$ (רגע, ${\color{winered} BCE }$ אינו חותך את השאר נכון. אפשרות פשוטה יותר: ${\color{winered} S_{DAB} = 6S }$, והמרובע ${\color{winered} FEAB }$ הוא המשולש ${\color{winered} \triangle DAB }$ פחות המשולש ${\color{winered} \triangle DEF }$. לכן ${\color{winered} S_{FEAB} = 6S - S = 5S }$). \item במשולש ישר הזווית ${\color{winered} \triangle CDE }$, אנו יודעים שהגובה ליתר מקיים ${\color{winered} CD^2 = CF \cdot CE }$ ו-${\color{winered} DE^2 = EF \cdot CE }$. \\ היחס ביניהם הוא: ${\color{winered} \frac{CD^2}{DE^2} = \frac{CF \cdot CE}{EF \cdot CE} = \frac{CF}{EF} = 2 }$. \\ לכן ${\color{winered} CD = DE\sqrt{2} }$. \\ ידוע לנו כי ${\color{winered} BC = 2DE }$. לכן היחס ${\color{winered} \frac{CD}{BC} = \frac{DE\sqrt{2}}{2DE} = \frac{\sqrt{2}}{2} }$. \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item נציב ${\color{winered} DE = a }$. לכן ${\color{winered} BC = AD = 2a }$. \\ מכאן ${\color{winered} CD = AB = a\sqrt{2} }$. \\ לפי משפט פיתגורס במשולש ${\color{winered} \triangle BCD }$: $$ {\color{winered} BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(2a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 + 2a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} } $$ \item המרובע ${\color{winered} EABF }$ חסום במעגל. זווית ישרה מונחת תמיד על קוטר המעגל. הזווית ${\color{winered} \angle EAB = 90^\circ }$, ולכן הקטע ${\color{winered} EB }$ הוא קוטר המעגל החוסם. \\ נחשב את ${\color{winered} EB }$ לפי פיתגורס במשולש ישר הזווית ${\color{winered} \triangle EAB }$ (${\color{winered} EA = a, AB = a\sqrt{2} }$): $$ {\color{winered} EB = \sqrt{EA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} } $$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 5 --- \textbf{פתרון שאלה 5 (טריגונומטריה):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item הטרפז חוסם מעגל, לכן סכום הבסיסים שווה לסכום השוקיים. מאחר והוא שווה שוקיים: ${\color{winered} AD = BC }$, לכן ${\color{winered} AB+CD = 2BC }$. \\ גובה הטרפז שווה לקוטר המעגל החסום בו, לכן הגובה הוא ${\color{winered} 2R }$. \\ במשולש ישר הזווית שנוצר על ידי הורדת גובה מ-$B$ לבסיס התחתון $CD$: הגובה הוא ${\color{winered} 2R }$ והזווית ליד הקודקוד היא ${\color{winered} \angle C = 64^\circ }$. \\ (2) השוק ${\color{winered} BC }$: $$ {\color{winered} \sin 64^\circ = \frac{2R}{BC} \implies BC = \frac{2R}{\sin 64^\circ} } $$ החלק של הבסיס התחתון (שבין הקודקוד $C$ לגובה) הוא ${\color{winered} 2R \cot 64^\circ }$. \\ (1) אורך הבסיסים: מרובע חוסם מעגל מקיים ${\color{winered} AB+CD = 2BC = \frac{4R}{\sin 64^\circ} }$. \\ כמו כן, בטרפז שווה שוקיים ${\color{winered} CD - AB = 2 \cdot (2R \cot 64^\circ) }$. \\ חיסור המשוואות מאפשר למצוא כל בסיס בנפרד, ובפרט את הבסיס הגדול $CD$: $$ {\color{winered} CD = \frac{1}{2}\left( \frac{4R}{\sin 64^\circ} + 4R \cot 64^\circ \right) = 2R \left( \frac{1}{\sin 64^\circ} + \frac{\cos 64^\circ}{\sin 64^\circ} \right) = 2R \frac{1+\cos 64^\circ}{\sin 64^\circ} } $$ או (בדרך פשוטה יותר בעזרת זוויות חצי): מרכז המעגל $O$, הקטע $OC$ חוצה את הזווית, לכן ${\color{winered} \angle OCF = 32^\circ }$. ב-${\color{winered} \triangle OFC }$, הניצב $OF=R$ ולכן ${\color{winered} CF = R \cot 32^\circ }$. מאחר ו-$F$ אמצע הבסיס, ${\color{winered} CD = 2R \cot 32^\circ }$. (3) אלכסון הטרפז $AC$. נוריד גובה $h=2R$. ההיטל של אלכסון זה על הבסיס הגדול הוא ממוצע הבסיסים, כלומר ${\color{winered} \frac{CD+AB}{2} = BC = \frac{2R}{\sin 64^\circ} }$. \\ לכן בעזרת משפט פיתגורס: $$ {\color{winered} AC = \sqrt{h^2 + BC^2} = \sqrt{(2R)^2 + \left(\frac{2R}{\sin 64^\circ}\right)^2} = 2R\sqrt{1 + \frac{1}{\sin^2 64^\circ}} } $$ \item רדיוס המעגל החוסם את הטרפז (זהה לרדיוס החוסם את המשולש ${\color{winered} \triangle ABC }$) נמצא בעזרת משפט הסינוסים במשולש זה: $$ {\color{winered} R_{\text{circum}} = \frac{AC}{2\sin \angle B} } $$ זווית ${\color{winered} \angle B }$ בטרפז שווה שוקיים היא משלימה ל-$180^\circ$, כלומר ${\color{winered} 116^\circ }$, אבל סינוס של $116^\circ$ שווה לסינוס של $64^\circ$. לכן: $$ {\color{winered} R_{\text{circum}} = \frac{AC}{2\sin 64^\circ} } $$ היחס המבוקש הוא ${\color{winered} \frac{R}{R_{\text{circum}}} = \frac{R \cdot 2\sin 64^\circ}{AC} }$. \item נתון כי ${\color{winered} BF = 8 }$. הקטע $BF$ מורכב מגובה הטרפז ($2R$) והיטל חלק מהבסיס. לפי פיתגורס במשולש ישר הזווית שבו $2R$ גובה ו-$\frac{CD-AB}{2} = 2R\cot 64^\circ$ בסיס, היתר שהוא הצלע עצמה שווה ל-8 (אם הניסוח כוון כך). לחלופין, לפי הדרך הטריגונומטרית שהוצגה, מתקיים ${\color{winered} BF = \frac{2R}{\sin 64^\circ} = 8 }$. מזה נובע ${\color{winered} 2R = 8 \sin 64^\circ \implies R = 4 \sin 64^\circ \approx 3.59 }$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 6 --- \textbf{פתרון שאלה 6 (אינטגרלים):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item ידוע כי בתחום ${\color{winered} 0 \le x \le 2 }$ הפונקציה חיובית (חותכת את ה-y ב-$2\sqrt{2}$ ואת ה-x ב-2). לכן ${\color{winered} S_1 = \int_{0}^{2} f(x)dx }$. \\ בתחום ${\color{winered} 2 \le x \le 7 }$ הפונקציה שלילית, ולכן השטח הוא בסימן מינוס: ${\color{winered} S_2 = -\int_{2}^{7} f(x)dx }$. \\ האינטגרל הכללי הוא: $$ {\color{winered} \int_{0}^{7} f(x)dx = \int_{0}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{7} f(x)dx = S_1 - S_2 = -2.25 } $$ נתון בנוסף שסכום השטחים הוא: ${\color{winered} S_1 + S_2 = 7.25 }$. \\ נחבר את שתי המשוואות: $$ {\color{winered} 2S_1 = 5 \implies S_1 = 2.5 } $$ \item הפונקציה הקדומה ${\color{winered} F(x) }$ מוגדרת כך ש־${\color{winered} F'(x) = f(x) }$. לפי המשפט היסודי: $$ {\color{winered} \int_{0}^{7} f(x)dx = F(7) - F(0) } $$ נתון ${\color{winered} F(0) = 0 }$ ושהאינטגרל שווה ל־$-2.25$, לכן: $$ {\color{winered} F(7) - 0 = -2.25 \implies F(7) = -2.25 } $$ \item נמצא תכונות לשרטוט הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$: הפונקציה ${\color{winered} f(x) }$ יורדת מהערך החיובי שלה לערכים שליליים, ושואפת ל-$y=-4$, כלומר הנגזרת שואפת ל-0 באינסוף. לכן ${\color{winered} f'(x) }$ שלילית. \\ נתון ${\color{winered} f'(0) = -2 }$. בנקודת הפיתול ב-${\color{winered} x=0.5 }$ לנגזרת יש נקודת קיצון (מינימום מקומי, כי הפונקציה יורדת בקצב מרבי שם). \\ הגרף של ${\color{winered} f'(x) }$ יתחיל בנקודה $(0,-2)$, יירד למינימום כלשהו ב-$x=0.5$, ואז יעלה בהדרגה אסימפטוטית אל ציר ה-x ($y=0$). \item לנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ אכן יש נקודת פיתול משלה (כאשר נגזרתה מתאפסת). הגרף של הנגזרת מתעקל שוב כלפי מעלה כדי להתקרב אסימפטוטית לציר ה-x ללא חצייתו, מה שמחייב קיום נקודת פיתול בהמשך הגרף. \item הפונקציה ${\color{winered} g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt }$ היא למעשה ${\color{winered} F(x) }$. נקודת קיצון מתרחשת כאשר הנגזרת ${\color{winered} g'(x) = f(x) = 0 }$. נתון שהפונקציה מתאפסת ב־${\color{winered} x=2 }$. \\ מאחר ו-${\color{winered} f(x) }$ עוברת מחיוביות לשליליות ב-${\color{winered} x=2 }$, נקודת הקיצון היא \textbf{מקסימום}. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 7 --- \textbf{פתרון שאלה 7 (חקירת פונקציית שורש):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item הנגזרת של ${\color{winered} f(x) = a\sqrt{x^2-10x+b} }$ היא: $$ {\color{winered} f'(x) = \frac{a(2x-10)}{2\sqrt{x^2-10x+b}} = \frac{a(x-5)}{\sqrt{x^2-10x+b}} } $$ נקודת האיפוס היא ${\color{winered} x=5 }$, שאינה נמצאת בתחום הנתון ${\color{winered} [0, 4] }$. לכן הפונקציה מונוטונית בתחום. עבור ${\color{winered} x \le 4 }$, הנגזרת שלילית והפונקציה \textbf{יורדת}. \\ לכן הערך המקסימלי מתקבל ב־${\color{winered} x=0 }$: $$ {\color{winered} f(0) = a\sqrt{b} = 7 \implies a^2b = 49 } $$ והערך המינימלי מתקבל ב־${\color{winered} x=4 }$: $$ {\color{winered} f(4) = a\sqrt{16-40+b} = a\sqrt{b-24} = 5 \implies a^2(b-24) = 25 } $$ נפתור את המערכת על ידי חיסור: $$ {\color{winered} a^2b - (a^2b - 24a^2) = 49 - 25 \implies 24a^2 = 24 \implies a^2 = 1 } $$ מאחר שנתון ${\color{winered} a>0 }$, אזי ${\color{winered} a=1 }$. נציב חזרה למציאת ${\color{winered} b }$: ${\color{winered} 1 \cdot b = 49 \implies b=49 }$. \item הפונקציה החדשה היא: ${\color{winered} h(x) = \sqrt{28 - (x^2-10x+49)} = \sqrt{-x^2+10x-21} }$. \\ תחום ההגדרה דורש שהביטוי בתוך השורש יהיה אי-שלילי: $$ {\color{winered} -x^2+10x-21 \ge 0 \implies x^2-10x+21 \le 0 \implies (x-3)(x-7) \le 0 \implies 3 \le x \le 7 } $$ \item גרף הפונקציה ${\color{winered} h(x) }$ הוא חצי אליפסה/מעגל בין $x=3$ ל-$x=7$, כשהמקסימום הוא במרכז ב-$x=5$. הערך ב-$x=5$ הוא ${\color{winered} \sqrt{-25+50-21} = \sqrt{4} = 2 }$. \item נבדוק מתי שתי הנגזרות חיוביות. הנגזרת ${\color{winered} f'(x) }$ חיובית רק עבור ${\color{winered} x > 5 }$. הנגזרת ${\color{winered} h'(x) = \frac{-2x+10}{2\sqrt{\dots}} }$ חיובית רק עבור ${\color{winered} x < 5 }$. מאחר שהתנאים סותרים, \textbf{אין תחום} שבו שתיהן חיוביות יחד. \item \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הישר ${\color{winered} y=k }$ חותך את הגרף בצורת "כיפה" בשתי נקודות עבור גבהים שבין 0 לשיא הפונקציה. תחום הערכים הוא: ${\color{winered} 0 \le k < 2 }$. \item אורך הקטע ${\color{winered} AB }$ (המרחק האופקי בין שתי נקודות החיתוך) הולך וקטן ככל שעולים למעלה לקודקוד הפונקציה. כדי שהאורך יהיה מינימלי, על $k$ לשאוף לגובה המקסימלי: ${\color{winered} k \to 2 }$. (המרחק שואף לאפס). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} % --- פתרון שאלה 8 --- \textbf{פתרון שאלה 8 (בעיית קיצון):} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.5cm, leftmargin=*] \item נסמן את אורך הצלע של הריבוע הגדול ${\color{winered} ABCD }$ כ־${\color{winered} b }$. \\ הריבוע הפנימי ${\color{winered} EFGH }$ חסום בתוכו. כדי שריבוע יחסום ריבוע, קודקודי הפנימי צריכים להיות על צלעות החיצוני. אם נסמן את מרחק הקודקוד $E$ מהפינה ב-$x$, אורך צלעו של ${\color{winered} EFGH }$ בריבוע הוא ${\color{winered} EF^2 = x^2 + (b-x)^2 }$. \\ הריבוע השלישי, ${\color{winered} KLIJ }$, מונח על \textbf{אמצעי הצלעות} של הריבוע ${\color{winered} EFGH }$. \\ בריבוע, הקטעים המחברים את אמצעי הצלעות יוצרים ריבוע חדש, שאורך צלעו הוא בדיוק ${\color{winered} \frac{1}{\sqrt{2}} }$ מאורך צלע הריבוע החוסם. כלומר: $$ {\color{winered} KL = \frac{EF}{\sqrt{2}} } $$ ההיקף של הריבוע הקטן ביותר ${\color{winered} KLIJ }$ הוא 4 פעמים צלעו: $$ {\color{winered} P = 4 \cdot \frac{EF}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} EF } $$ נתון כי ההיקף המינימלי הוא 10: $$ {\color{winered} 2\sqrt{2} EF_{\text{min}} = 10 \implies EF_{\text{min}} = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} } $$ כדי למצוא את המינימום של ${\color{winered} EF }$, נגזור את הביטוי שלו: $$ {\color{winered} f(x) = EF^2 = x^2 + (b-x)^2 = 2x^2 - 2bx + b^2 } $$ המינימום של פרבולה זו מתקבל בקודקוד ${\color{winered} x = \frac{-(-2b)}{4} = \frac{b}{2} }$. \\ נציב ${\color{winered} x = \frac{b}{2} }$ בחזרה כדי למצוא את האורך המינימלי המרובע: $$ {\color{winered} EF_{\text{min}}^2 = 2\left(\frac{b}{2}\right)^2 - 2b\left(\frac{b}{2}\right) + b^2 = \frac{b^2}{2} - b^2 + b^2 = \frac{b^2}{2} } $$ מצד שני, מהיקף הריבוע מצאנו ש־${\color{winered} EF_{\text{min}} = \frac{5}{\sqrt{2}} }$, ולכן: $$ {\color{winered} EF_{\text{min}}^2 = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{25}{2} } $$ נשווה את שני הביטויים: $$ {\color{winered} \frac{b^2}{2} = \frac{25}{2} \implies b^2 = 25 \implies b = 5 } $$ אורך צלע הריבוע הגדול הוא 5 ס"מ. \end{enumerate} \end{document}

מבחן דמה 2 - 571