\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- ספריות לעיצוב העמוד ופוטר --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=1.5cm, bottom=2.2cm, top=1.8cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{setspace} \setstretch{1.25} % --- הגדרת צבעים --- \usepackage{xcolor} \definecolor{winered}{RGB}{153, 0, 0} \definecolor{LogoGreen}{RGB}{85, 107, 79} \definecolor{LogoRed}{RGB}{153, 0, 0} % --- הגדרת פוטר --- \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \fancyfoot[C]{\small\color{winered} כל הזכויות שמורות לגיא קורן, אין להעתיק, לצלם או לשכפל, את התרגילים או חלק מהם ללא אישור בכתב} % --- ספריות למתמטיקה וגרפים --- \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} \usetikzlibrary{angles, quotes, calc, intersections} % --- גודל גופן מתמטי --- \DeclareMathSizes{12}{13}{9}{7} % --- ספריות לעברית מודרנית --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} % --- עיצוב רשימות --- \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate,1]{label=\textbf{\alph*.\,}, itemsep=0.2em, topsep=0.2em} \newcommand{\seifIndent}{4.5em} \selectlanguage{hebrew} \begin{document} %========= כותרת ראשית =========% \begin{center} \Large \textbf{\color{winered} דף עבודה ותרגול: חקירת פונקציות, פרבולות וישרים} \\[0.1cm] \small \textbf{מתמטיקה — 12 שאלות מקיפות עם שרטוטים מוגדלים ומדויקים} \end{center} \vspace{-0.1cm} {\color{winered}\hrule height 1.2pt} \vspace{0.3cm} %==================================================================== % עמוד 1: שאלות 1-2 (חלק א': ישר ופרבולה) %==================================================================== \noindent {\large \textbf{\color{winered} חלק א': חקירה משולבת של פרבולה וישר (שאלות 1--4)}} \\[0.2cm] % --- שאלה 1 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{1.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 4x + 5$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x + 1$} \\[0.1cm] בשרטוט מוצגים הגרפים של שתי הפונקציות. {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} הן נקודות החיתוך בין הפונקציות, ו-{\color{winered}$C$} היא נקודת הקודקוד של הפרבולה {\color{winered}$f(x)$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי נקודות הקודקוד {\color{winered}$C$} של הפרבולה {\color{winered}$f(x)$}. \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \item רשמו ערך של {\color{winered}$x$} עבורו מתקיים {\color{winered}$f(x) > g(x)$}. \item מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה {\color{winered}$f(x)$} עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-2.5, xmax=6.5, ymin=-2, ymax=11, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-2:6, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 4*x + 5}; \node[winered] at (axis cs: 2.2, 10.2) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-2.2:6, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {x + 1}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 5.8, 6.2) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -1, 0) circle (2pt) node[above left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 5) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 2, 9) circle (2pt) node[above] {$C$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 2 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{2.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = x^2 - 6x + 8$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = -x + 4$} \\[0.1cm] בשרטוט מוצגים הגרפים של הפרבולה והישר. הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} הן נקודות המפגש בין הישר לפרבולה, ו-{\color{winered}$D$} היא נקודת הקודקוד. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה {\color{winered}$D$}. \item עבור אילו ערכי {\color{winered}$x$} הפרבולה {\color{winered}$f(x)$} שלילית ({\color{winered}$f(x) < 0$})? \item מצאו את תחום הירידה של {\color{winered}$f(x)$}. \item חשבו את שטח המשולש {\color{winered}$ABD$} (כאשר {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} הן נקודות החיתוך). \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-1.5, xmax=6.5, ymin=-3, ymax=10, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-0.3:6.2, samples=100, color=winered, thick] {x^2 - 6*x + 8}; \node[winered] at (axis cs: 5.8, 7.5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1:6, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {-x + 4}; \node[LogoGreen] at (axis cs: -0.8, 5) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 1, 3) circle (2pt) node[above right] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 0) circle (2pt) node[below left] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, -1) circle (2pt) node[below] {$D$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill \newpage %==================================================================== % עמוד 2: שאלות 3-4 (המשך חלק א': ישר ופרבולה) %==================================================================== % --- שאלה 3 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{3.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 2x + 8$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = -x + 4$} \\[0.1cm] הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} הן נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה, והנקודה {\color{winered}$C$} היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- {\color{winered}$y$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי הנקודה {\color{winered}$C$}. \item מצאו את קודקוד הפרבולה {\color{winered}$M$}. \item קבעו עבור אילו ערכי {\color{winered}$x$} מתקיים {\color{winered}$f(x) \ge g(x)$}. \item מצאו את תחום העלייה של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-3.5, xmax=5.5, ymin=-2, ymax=11, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-2.8:4.8, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 2*x + 8}; \node[winered] at (axis cs: 1.2, 10.2) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-3:5.2, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {-x + 4}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 4.8, 0.2) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -1, 5) circle (2pt) node[left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 0) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, 8) circle (2pt) node[above left] {$C$}; \fill[color=black] (axis cs: 1, 9) circle (2pt) node[above] {$M$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 4 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{4.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = x^2 - 4$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = 2x - 1$} \\[0.1cm] הישר והפרבולה נחתכים בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. {\color{winered}$K$} היא נקודת הקודקוד של הפרבולה. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי הנקודה {\color{winered}$K$}. \item מצאו ערך של {\color{winered}$x$} עבורו {\color{winered}$f(x) < 0$}. \item עבור אילו ערכי {\color{winered}$x$} מתקיים {\color{winered}$g(x) > f(x)$}? \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של {\color{winered}$f(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-3.5, xmax=4.5, ymin=-5.5, ymax=7.5, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-3:3.8, samples=100, color=winered, thick] {x^2 - 4}; \node[winered] at (axis cs: -2.8, 3.5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-2.2:3.8, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {2*x - 1}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 2.2, 5.8) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -1, -3) circle (2pt) node[left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, 5) circle (2pt) node[right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, -4) circle (2pt) node[below right] {$K$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill \newpage %==================================================================== % עמוד 3: שאלות 5-6 (חלק ב': שתי פרבולות) %==================================================================== \noindent {\large \textbf{\color{winered} חלק ב': חקירת מערכת של שתי פרבולות (שאלות 5--8)}} \\[0.2cm] % --- שאלה 5 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{5.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 1$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x^2 - 3x - 4$} \\[0.1cm] נקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$C$} הן נקודות החיתוך של הפונקציות הנתונות. נקודה {\color{winered}$B$} היא נקודת החיתוך של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$} עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$}, {\color{winered}$B$} ו-{\color{winered}$C$}. \item מצאו את שטח המשולש {\color{winered}$ABC$}. \item רשמו מהו ציר הסימטריה של הפונקציה {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \item מהו תחום הערכים שבו הפונקציה {\color{winered}$f(x)$} עולה? \item מהו תחום הערכים שבו הפונקציה {\color{LogoGreen}$g(x)$} שלילית? \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-2.5, xmax=5.5, ymin=-7.5, ymax=3.5, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-2.2:2.2, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 1}; \node[winered] at (axis cs: -0.8, 2.2) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1.5:4.8, samples=100, color=LogoGreen, thick] {x^2 - 3*x - 4}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 4.2, 2) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -1, 0) circle (2pt) node[above left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 1, 0) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 2.5, -5.25) circle (2pt) node[right] {$C$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 6 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{6.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 4x$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x^2 - 2x$} \\[0.1cm] שתי הפרבולות עוברות דרך ראשית הצירים {\color{winered}$O(0,0)$} ונחתכות בנקודה נוספת {\color{winered}$A$}. הנקודות {\color{winered}$M_1$} ו-{\color{winered}$M_2$} הן קודקודי הפרבולות. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי נקודת החיתוך {\color{winered}$A$}. \item מצאו את שיעורי הקודקודים {\color{winered}$M_1$} (של {\color{winered}$f$}) ו-{\color{winered}$M_2$} (של {\color{LogoGreen}$g$}). \item מצאו את מרחק הקודקוד {\color{winered}$M_1$} מציר ה- {\color{winered}$x$}. \item מצאו את התחום שבו {\color{winered}$f(x) > g(x)$}. \item רשמו תחומי עלייה וירידה עבור {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-1.5, xmax=5.5, ymin=-3, ymax=6, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-1:5, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 4*x}; \node[winered] at (axis cs: 2, 5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1.2:3.8, samples=100, color=LogoGreen, thick] {x^2 - 2*x}; \node[LogoGreen] at (axis cs: -0.8, 2.5) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 0, 0) circle (2pt) node[below left] {$O$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, 3) circle (2pt) node[right] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 2, 4) circle (2pt) node[above] {$M_1$}; \fill[color=black] (axis cs: 1, -1) circle (2pt) node[below] {$M_2$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill \newpage %==================================================================== % עמוד 4: שאלות 7-8 (המשך חלק ב': שתי פרבולות) %==================================================================== % --- שאלה 7 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{7.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 6x - 5$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x^2 - 4x + 3$} \\[0.1cm] הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} הן נקודות החיתוך בין שני הגרפים. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את נקודות האפס (חיתוך עם ציר {\color{winered}$x$}) של {\color{winered}$f(x)$}. \item מצאו את נקודות האפס של {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \item רשמו ערך {\color{winered}$x$} עבורו שתי הפונקציות חיוביות בו זמנית. \item מצאו את שיעורי הקודקוד של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-1.5, xmax=6.5, ymin=-6, ymax=6, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=0.2:5.8, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 6*x - 5}; \node[winered] at (axis cs: 3, 5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-0.2:5.2, samples=100, color=LogoGreen, thick] {x^2 - 4*x + 3}; \node[LogoGreen] at (axis cs: -0.1, 3.5) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 1, 0) circle (2pt) node[below left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 3) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 8 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{8.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 9$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x^2 - 2x - 3$} \\[0.1cm] הגרפים נחתכים בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. הנקודה {\color{winered}$C$} היא קודקוד הפרבולה {\color{winered}$f(x)$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי הנקודה {\color{winered}$C$}. \item מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של {\color{winered}$f(x)$}. \item מצאו את ציר הסימטריה של הפונקציה {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \item חשבו את המרחק בין קודקוד {\color{winered}$f(x)$} לקודקוד {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-4.5, xmax=4.5, ymin=-6, ymax=11, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-3.8:3.8, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 9}; \node[winered] at (axis cs: -2.5, 7.5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-2.8:4.2, samples=100, color=LogoGreen, thick] {x^2 - 2*x - 3}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 3.5, 3.5) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -2, 5) circle (2pt) node[left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, 0) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, 9) circle (2pt) node[above right] {$C$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill \newpage %==================================================================== % עמוד 5: שאלות 9-10 (חלק ג': שאלות משולבות ומורכבות) %==================================================================== \noindent {\large \textbf{\color{winered} חלק ג': שאלות משולבות ומורכבות (שאלות 9--12)}} \\[0.2cm] % --- שאלה 9 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{9.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 4$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = x + 2$} \\[0.1cm] הישר {\color{LogoGreen}$g(x)$} נחתך עם הפרבולה {\color{winered}$f(x)$} בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. הנקודה {\color{winered}$C$} היא קודקוד הפרבולה, והנקודה {\color{winered}$D$} היא חיתוך הישר עם ציר ה- {\color{winered}$y$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$C$} ו-{\color{winered}$D$}. \item מצאו את האורך של הקטע {\color{winered}$CD$}. \item עבור אילו ערכי {\color{winered}$x$} מתקיים {\color{winered}$f(x) > g(x)$}? \item חשבו את שטח המשולש {\color{winered}$ABC$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-3.5, xmax=3.5, ymin=-2, ymax=6, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-2.8:2.8, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 4}; \node[winered] at (axis cs: -2, 2.5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-3:3, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {x + 2}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 2.5, 4.2) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: -2, 0) circle (2pt) node[below left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 1, 3) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, 4) circle (2pt) node[above right] {$C$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, 2) circle (2pt) node[below right] {$D$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 10 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{10.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות שתי פרבולות: \\ {\color{winered}$f(x) = x^2 - 4x + 3$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = -x^2 + 2x + 3$} \\[0.1cm] הפרבולות נחתכות בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. הנקודה {\color{winered}$M$} היא קודקוד הפרבולה {\color{LogoGreen}$g(x)$}. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה {\color{winered}$M$}. \item מצאו את נקודות החיתוך של {\color{winered}$f(x)$} עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \item מצאו את התחום שבו שתי הפונקציות עולות ביחד. \item רשמו את התחום שבו {\color{LogoGreen}$g(x) > f(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-2.5, xmax=4.5, ymin=-3, ymax=6, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-0.5:4.3, samples=100, color=winered, thick] {x^2 - 4*x + 3}; \node[winered] at (axis cs: 3.8, 4) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1.3:3.3, samples=100, color=LogoGreen, thick] {-x^2 + 2*x + 3}; \node[LogoGreen] at (axis cs: -0.8, 1.2) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 0, 3) circle (2pt) node[above left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, 0) circle (2pt) node[below left] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 1, 4) circle (2pt) node[above] {$M$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill \newpage %==================================================================== % עמוד 6: שאלות 11-12 (המשך חלק ג': שאלות משולבות ומורכבות) %==================================================================== % --- שאלה 11 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{11.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = -x^2 + 8x - 12$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = 2x - 4$} \\[0.1cm] הישר נחתך עם הפרבולה בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. הנקודה {\color{winered}$P$} היא קודקוד הפרבולה. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה {\color{winered}$P$}. \item מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \item מצאו את תחום השליליות של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \item חשבו את שיפוע הישר {\color{LogoGreen}$g(x)$} והסבירו האם הישר עולה או יורד. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-1.5, xmax=7.5, ymin=-8, ymax=6, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=1.2:6.8, samples=100, color=winered, thick] {-x^2 + 8*x - 12}; \node[winered] at (axis cs: 5, 4.8) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1:5, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {2*x - 4}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 0.5, -2.5) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 2, 0) circle (2pt) node[below right] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 4) circle (2pt) node[above left] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 4, 4) circle (2pt) node[above] {$P$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vfill % --- שאלה 12 --- \noindent \begin{minipage}[t]{0.56\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{12.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות: \\ {\color{winered}$f(x) = x^2 - 6x + 5$}, \quad {\color{LogoGreen}$g(x) = -x + 5$} \\[0.1cm] הישר {\color{LogoGreen}$g(x)$} והפרבולה {\color{winered}$f(x)$} נחתכים בנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$} על הצירים. הנקודה {\color{winered}$K$} היא קודקוד הפרבולה. \end{list} \begin{enumerate}[leftmargin=\seifIndent] \item מצאו את שיעורי הנקודות {\color{winered}$A$} ו-{\color{winered}$B$}. \item מצאו את שיעורי קודקוד הפרבולה {\color{winered}$K$}. \item מצאו את שטח המשולש {\color{winered}$AOK$} ({\color{winered}$O$} ראשית הצירים). \item עבור אילו ערכי {\color{winered}$x$} מתקיים {\color{winered}$f(x) < g(x)$}? \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של {\color{winered}$f(x)$}. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ axis lines=middle, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, xmin=-1.5, xmax=6.5, ymin=-6, ymax=7.5, ticks=none, enlargelimits=false ] \addplot[domain=-0.2:6.2, samples=100, color=winered, thick] {x^2 - 6*x + 5}; \node[winered] at (axis cs: 5.8, 4.5) {\small $f(x)$}; \addplot[domain=-1:6, samples=2, color=LogoGreen, dashed, thick] {-x + 5}; \node[LogoGreen] at (axis cs: 1, 4.8) {\small $g(x)$}; % Points \fill[color=black] (axis cs: 0, 5) circle (2pt) node[above left] {$A$}; \fill[color=black] (axis cs: 5, 0) circle (2pt) node[above right] {$B$}; \fill[color=black] (axis cs: 3, -4) circle (2pt) node[below] {$K$}; \fill[color=black] (axis cs: 0, 0) circle (2pt) node[below left] {$O$}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} % ========================================== % תשובות סופיות - דף עבודה: פונקציות ופרבולות % ========================================== \newpage \begin{center} \Large \textbf{\color{winered} תשובות סופיות -- דף עבודה ותרגול} \end{center} \vspace{0.4cm} \noindent \textbf{שאלה 1:} \\ 1. {\color{winered}$A(-1,0), \quad B(4,5)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$C(2,9)$} \\[0.1cm] 3. עלייה: {\color{winered}$x < 2$}, ירידה: {\color{winered}$x > 2$} \\[0.1cm] 4. כל $x$ בתחום {\color{winered}$-1 < x < 4$} (למשל $x=0$) \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$(-1,0), \quad (5,0)$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 2:} \\ 1. {\color{winered}$A(1,3), \quad B(4,0)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$D(3,-1)$} \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$2 < x < 4$} \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$x < 3$} \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$S_{\triangle ABD} = 3$} יח"ר \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 3:} \\ 1. {\color{winered}$A(-1,5), \quad B(4,0)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$C(0,8)$} \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$M(1,9)$} \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$-1 \le x \le 4$} \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$x < 1$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 4:} \\ 1. {\color{winered}$A(-1,-3), \quad B(3,5)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$K(0,-4)$} \\[0.1cm] 3. כל $x$ בתחום {\color{winered}$-2 < x < 2$} (למשל $x=0$) \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$-1 < x < 3$} \\[0.1cm] 5. עלייה: {\color{winered}$x > 0$}, ירידה: {\color{winered}$x < 0$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 5:} \\ 1. {\color{winered}$A(-1,0), \quad B(1,0), \quad C(2.5, -5.25)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$S_{\triangle ABC} = 5.25$} יח"ר \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$x = 1.5$} \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$x < 0$} \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$-1 < x < 4$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 6:} \\ 1. {\color{winered}$A(3,3)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$M_1(2,4), \quad M_2(1,-1)$} \\[0.1cm] 3. מרחק הקודקוד $M_1$ מציר ה- $x$ הוא {\color{winered}$4$} יחידות. \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$0 < x < 3$} \\[0.1cm] 5. עבור $g(x)$: עלייה: {\color{winered}$x > 1$}, ירידה: {\color{winered}$x < 1$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 7:} \\ 1. {\color{winered}$A(1,0), \quad B(4,3)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$(1,0), \quad (5,0)$} \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$(1,0), \quad (3,0)$} \\[0.1cm] 4. כל $x$ בתחום {\color{winered}$3 < x < 5$} (למשל $x=4$ חיובית ב-$f$, עבור שתי הפונקציות ביחד למשל $x=3.5$) \\[0.1cm] 5. קודקוד $f(x)$: {\color{winered}$(3,4)$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 8:} \\ 1. {\color{winered}$A(-2,5), \quad B(3,0)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$C(0,9)$} \\[0.1cm] 3. חיוביות: {\color{winered}$-3 < x < 3$}, שליליות: {\color{winered}$x < -3$} או {\color{winered}$x > 3$} \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$x = 1$} \\[0.1cm] 5. קודקוד $g(x)$ הוא $(1,-4)$. המרחק מ- $C(0,9)$: {\color{winered}$d = \sqrt{1^2 + 13^2} = \sqrt{170} \approx 13.04$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 9:} \\ 1. {\color{winered}$A(-2,0), \quad B(1,3)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$C(0,4), \quad D(0,2)$} \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$CD = 2$} יחידות. \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$-2 < x < 1$} \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$S_{\triangle ABC} = 3$} יח"ר \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 10:} \\ 1. {\color{winered}$A(0,3), \quad B(3,0)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$M(1,4)$} \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$(1,0), \quad (3,0)$} \\[0.1cm] 4. שתי הפונקציות עולות בתחום: {\color{winered}$x < 1$} (מכיוון ש-$g$ עולה ב-$x<1$ ו-$f$ עולה ב-$x>2$, התחום שבו הן עולות יחד לא קיים לחלוטין, אך עבור עליות בודדות: $f$ ב-$x>2$ ו-$g$ ב-$x<1$). \\[0.1cm] 5. {\color{winered}$0 < x < 3$} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 11:} \\ 1. {\color{winered}$A(2,0), \quad B(4,4)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$P(4,4)$} (מתלכד עם נקודה $B$) \\[0.1cm] 3. {\color{winered}$(2,0), \quad (6,0)$} \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$x < 2$} או {\color{winered}$x > 6$} \\[0.1cm] 5. השיפוע הוא {\color{winered}$m = 2$}. מכיוון ש- $m > 0$, הישר **עולה**. \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 12:} \\ 1. {\color{winered}$A(0,5), \quad B(5,0)$} \\[0.1cm] 2. {\color{winered}$K(3,-4)$} \\[0.1cm] 3. $A(0,5), O(0,0), K(3,-4) \implies {\color{winered}S_{\triangle AOK} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7.5}$ יח"ר \\[0.1cm] 4. {\color{winered}$0 < x < 5$} \\[0.1cm] 5. עלייה: {\color{winered}$x > 3$}, ירידה: {\color{winered}$x < 3$} \begin{center} \vspace{0.6cm} \Large \textbf{\color{winered} ב ה צ ל ח ה !} \end{center} \end{document}

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים או בין ישרים