\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc, angles, quotes, intersections} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} \usepackage{enumitem} \usepackage{setspace} \usepackage{setspace} \onehalfspacing % הגדרת רווח 1.5 בין שורות \onehalfspacing \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{ארבע יח"ל - 471 - 2024 - מועד ב} \\[0.2cm] \large רגרסיה, התפלגות נורמלית, הסתברות, גיאומטריה, חקירה ובעיות קיצון \end{center} \vspace{1cm} % ========================================== % תרגיל 1 % ========================================== \section*{תרגיל 1} במשתלה מסוימת האורכים של גבעולי פרחים מתפלגים נורמלית. \\ הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה הוא 20 ס"מ. \\ במשתלה ממיינים את הפרחים לשלוש קבוצות: \\ קבוצה א' – פרחים שאורך הגבעול שלהם קצר מ־ 22 ס"מ. \\ קבוצה ב' – פרחים שאורך הגבעול שלהם בין 22 ס"מ ל־ 26 ס"מ. \\ קבוצה ג' – שאר הפרחים. \\ נתון כי שיעור הפרחים בקבוצה א' הוא 65.5\%. \\ \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים במשתלה. \\ \item מצאו מהו אחוז הפרחים שבקבוצה ג' מתוך כל הפרחים במשתלה. \\ \end{enumerate} יום אחד היו במשתלה 2,000 פרחים סך הכול. \\ במשתלה החליטו להכין זרים מכל הפרחים שבקבוצה ב' כך שבכל זר יהיו 10 פרחים. \\ \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה זרים הכינו במשתלה ביום זה? \\ \end{enumerate} במשתלה אחרת, שגם בה האורכים של גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית, אחוז הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ־ 24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים שבקבוצה ב'. \\ נתון כי סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים בשתי המשתלות זהה. \\ \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item מצאו את הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה האחרת. \\ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון תרגיל 1 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 1} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item נתון כי הממוצע הוא $\mu = 20$. \\ בקבוצה א' נמצאים פרחים עד אורך 22 ס"מ, ושיעורם הוא $65.5\%$, לכן $P(X < 22) = 0.655$. \\ מטבלת ההתפלגות הנורמלית, ציון התקן (Z) המתאים לשטח של $0.655$ הוא בקירוב $Z = 0.4$. \\ נציב בנוסחת ציון התקן: $0.4 = \frac{22 - 20}{\sigma}$. \\ נפתור ונקבל: $0.4\sigma = 2 \implies \mathbf{\sigma = 5}$. \\ לכן, סטיית התקן היא 5 ס"מ. \\ \item קבוצה ג' כוללת את כל הפרחים שאורכם מעל 26 ס"מ. \\ נחשב את ציון התקן עבור 26 ס"מ: $Z = \frac{26 - 20}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$. \\ לפי הטבלה, השטח משמאל ל־$Z=1.2$ הוא $0.8849$. \\ האחוז של הפרחים הגדולים מ־26 ס"מ הוא השטח מימין: $1 - 0.8849 = 0.1151$. \\ לכן, אחוז הפרחים בקבוצה ג' הוא \textbf{11.51\%} (בקירוב 11.5\%). \\ \item קבוצה ב' כוללת את הפרחים שאורכם בין 22 ל־26 ס"מ. \\ ההסתברות להימצא בקבוצה ב' היא ההפרש בין השטחים: $P(22 < X < 26) = P(X < 26) - P(X < 22) = 0.8849 - 0.6554 = 0.2295$. \\ מספר הפרחים בקבוצה ב' מתוך 2,000 הוא: $2000 \cdot 0.2295 = 459$. \\ בכל זר יש 10 פרחים, ולכן מספר הזרים השלמים שניתן להכין הוא $\frac{459}{10} = 45.9$. \\ במשתלה הכינו \textbf{46} זרים (או 45 זרים שלמים, תלוי בהנחיות העיגול). \\ \item במשתלה האחרת, אחוז הפרחים מעל 24 ס"מ שווה לאחוז קבוצה ב' (23\% בקירוב, או $0.2295$). \\ כלומר, $P(X > 24) = 0.2295$. \\ מכאן שהשטח משמאל ל־24 הוא $1 - 0.2295 = 0.7705$. \\ לפי הטבלה, ציון ה־Z המתאים לשטח של $0.7705$ הוא כ־$0.74$. \\ סטיית התקן זהה ($\sigma = 5$), ולכן נציב בנוסחה כדי למצוא את הממוצע החדש: $0.74 = \frac{24 - \mu}{5}$. \\ נפתור: $3.7 = 24 - \mu \implies \mathbf{\mu = 20.3}$. \\ הממוצע במשתלה האחרת הוא 20.3 ס"מ. \\ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 2 % ========================================== \section*{תרגיל 2} לפניכם שלוש טבלאות שבהן מוצגים ערכים של שני משתנים, שנמדדו בתצפיות שונות: משתנה x ומשתנה y. \\ \begingroup \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{center} \selectlanguage{hebrew} \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c||}{\textbf{טבלה 1}} & \multicolumn{2}{c||}{\textbf{טבלה 2}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{טבלה 3}} \\ \hline x & y & x & y & x & y \\ \hline 16 & 35 & 4 & 9 & 1 & 2 \\ \hline 17 & 34 & 5 & 11 & 2 & 4 \\ \hline 18 & 33 & 6 & 19 & 3 & 6 \\ \hline 19 & 32 & 7 & 22 & 4 & 8 \\ \hline 20 & 31 & 8 & 17 & 5 & 10 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \endgroup נסמן את מקדם המתאם בין x ל־y ב־r. \\ א. התאימו כל אחד מן ההיגדים III-I שלפניכם לטבלאות 3-1: \\ I. $00$ . \\ גרף הפונקצייה $f(x)$ חותך את ציר ה־ x בנקודה A . \\ מן הנקודה $B(8,0)$ העבירו אנך לציר ה־ x . \\ C היא נקודה כלשהי על גרף הפונקצייה $f(x)$ . \\ נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה C, $2