\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc, angles, quotes, intersections} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} \usepackage{enumitem} % רווח של 1.5 בין שורות \linespread{1.5} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{ארבע יח"ל - 471 - 2023 - מעד ב} \\[0.2cm] \end{center} \vspace{1cm} % ========================================== % תרגיל 1 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 1 - התפלגות נורמלית} \\[0.2cm] במשתלה מסוימת האורכים של גבעולי פרחים מתפלגים נורמלית. \\ הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה הוא 20 ס"מ. \\ במשתלה ממיינים את הפרחים לשלוש קבוצות: \\ קבוצה א' – פרחים שאורך הגבעול שלהם קצר מ־ 22 ס"מ. \\ קבוצה ב' – פרחים שאורך הגבעול שלהם בין 22 ס"מ ל־ 26 ס"מ. \\ קבוצה ג' – שאר הפרחים. \\ נתון כי שיעור הפרחים בקבוצה א' הוא $65.54\%$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים במשתלה. \item מצאו מהו אחוז הפרחים שבקבוצה ג' מתוך כל הפרחים במשתלה. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} יום אחד היו במשתלה 2,000 פרחים סך הכול. \\ במשתלה החליטו להכין זרים מכל הפרחים שבקבוצה ב' כך שבכל זר יהיו 10 פרחים. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה זרים הכינו במשתלה ביום זה? \end{enumerate} \vspace{0.1cm} במשתלה אחרת, שגם בה האורכים של גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית, אחוז הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ־ 24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים שבקבוצה ב' של המשתלה הראשונה. \\ נתון כי סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים בשתי המשתלות זהה. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item מצאו את הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה האחרת. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 1} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item נתון כי הממוצע הוא $\mu = 20$. \\ עבור קבוצה א' (עד 22 ס"מ) השטח הוא $0.6554$. \\ לפי טבלת ההתפלגות הנורמלית (טבלת ציוני תקן Z), שטח של $0.6554$ מתאים לציון תקן $Z = 0.4$. \\ נציב בנוסחת ציון התקן: \\ $$ Z = \frac{x-\mu}{\sigma} \implies 0.4 = \frac{22-20}{\sigma} $$ $$ 0.4\sigma = 2 \implies \sigma = 5 $$ \textbf{סטיית התקן היא 5 ס"מ.} \item קבוצה ג' מורכבת מהפרחים שאורכם מעל 26 ס"מ. \\ נחשב את ציון התקן עבור 26 ס"מ: \\ $$ Z = \frac{26-20}{5} = \frac{6}{5} = 1.2 $$ השטח שמשמאל ל־$Z=1.2$ לפי הטבלה הוא $0.8849$. \\ האחוז שמעל (קבוצה ג') הוא המשלים: $1 - 0.8849 = 0.1151$. \\ \textbf{אחוז הפרחים בקבוצה ג' הוא $11.51\%$.} \item קבוצה ב' היא בין 22 ס"מ ל־26 ס"מ. \\ ההסתברות להימצא בקבוצה זו היא השטח בין $Z=0.4$ ל־$Z=1.2$: \\ $$ P(22 < X < 26) = 0.8849 - 0.6554 = 0.2295 $$ מספר הפרחים בקבוצה ב' מתוך 2,000 הוא: $2000 \cdot 0.2295 = 459$ פרחים. \\ מכיוון שבכל זר יש 10 פרחים, נחלק ב־10: $459 / 10 = 45.9$. \\ מכיוון שניתן להכין רק זרים שלמים, התשובה היא \textbf{45 זרים} (או 46 אם מעגלים). \item נתון כי אחוז הפרחים מעל 24 ס"מ במשתלה האחרת שווה לאחוז קבוצה ב', כלומר $22.95\%$. \\ לכן, השטח שמשמאל ל־24 הוא $1 - 0.2295 = 0.7705$. \\ ציון התקן המתאים לשטח של $0.7705$ הוא $Z = 0.74$. \\ נציב בנוסחה עם אותה סטיית תקן ($\sigma = 5$): \\ $$ 0.74 = \frac{24 - \mu}{5} \implies 3.7 = 24 - \mu \implies \mu = 20.3 $$ \textbf{הממוצע במשתלה האחרת הוא 20.3 ס"מ.} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 2 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 2 - סטטיסטיקה ורגרסיה} \\[0.2cm] בעל חנות המוכר טאבלטים בדק את הקשר הלינארי בין גודל המסך של טאבלט באינצ'ים (המשתנה x) ובין מספר הדקות שנדרשו ללקוח להחליט לקנות את הטאבלט (המשתנה y). \\ ביום מסוים הוא מכר 8 דגמים שונים של טאבלטים. \\ לפניכם טבלה המתארת את הנתונים של שמונת הדגמים שהוא מכר באותו יום: \begingroup \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{center} \selectlanguage{hebrew} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \textbf{גודל המסך באינצ'ים ($x$)} & \textbf{מספר הדקות לקבלת ההחלטה לקנות ($y$)} \\ \hline 9 & 2 \\ \hline 9 & 10 \\ \hline 9 & 10 \\ \hline 9 & 10 \\ \hline 11 & 10 \\ \hline 11 & 10 \\ \hline 11 & 10 \\ \hline 11 & 18 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \endgroup \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item חשבו את הממוצעים ואת סטיות התקן של שני המשתנים, x ו־y. \item חשבו את מקדם המתאם $r$. \item מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת החלטה כתלות בגודל המסך. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} בעל החנות הזמין לחנותו דגם חדש של טאבלט, שגודל המסך שלו 10 אינצ'ים. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו ניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה בעבור דגם זה? \end{enumerate} \vspace{0.1cm} בעקבות העסקתו של מוכר חדש בחנות, התקצר ב־ 20\% זמן קבלת ההחלטה לקנות כל אחד מדגמי הטאבלטים. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item בעבור כל אחד מן המדדים שלפניכם קבעו אם ערכו יגדל, יקטן או לא ישתנה בעקבות השינוי הזה. נמקו. \\ (1) מקדם המתאם $r$. \\ (2) סטיית התקן של המשתנה y. \\ (3) שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה כתלות בגודל המסך. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 2} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{חישוב ממוצעים וסטיות תקן:} \\ נחשב את ממוצע המסכים ($x$): $$ \bar{x} = \frac{9+9+9+9+11+11+11+11}{8} = \frac{80}{8} = \mathbf{10} $$ נחשב את ממוצע הדקות ($y$): $$ \bar{y} = \frac{2+10+10+10+10+10+10+18}{8} = \frac{80}{8} = \mathbf{10} $$ סטיית תקן של $x$: $$ S_x = \sqrt{ \frac{4 \cdot (9-10)^2 + 4 \cdot (11-10)^2}{8} } = \sqrt{\frac{4(1) + 4(1)}{8}} = \sqrt{\frac{8}{8}} = \mathbf{1} $$ סטיית תקן של $y$: $$ S_y = \sqrt{ \frac{1 \cdot (2-10)^2 + 6 \cdot (10-10)^2 + 1 \cdot (18-10)^2}{8} } = \sqrt{\frac{64 + 0 + 64}{8}} = \sqrt{16} = \mathbf{4} $$ \item \textbf{מקדם המתאם ($r$):} \\ נחשב תחילה את השונות המשותפת ($cov$): $$ cov(x,y) = \frac{(9-10)(2-10) + 3(9-10)(0) + 3(11-10)(0) + (11-10)(18-10)}{8} $$ $$ cov(x,y) = \frac{(-1)(-8) + 0 + 0 + (1)(8)}{8} = \frac{8 + 8}{8} = 2 $$ $$ r = \frac{cov(x,y)}{S_x \cdot S_y} = \frac{2}{1 \cdot 4} = \mathbf{0.5} $$ \item \textbf{משוואת ישר הרגרסיה:} \\ השיפוע הוא $m = r \cdot \frac{S_y}{S_x} = 0.5 \cdot \frac{4}{1} = 2$. \\ הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(10, 10)$: $$ y - 10 = 2(x - 10) \implies y = 2x - 20 + 10 \implies \mathbf{y = 2x - 10} $$ \item \textbf{ניבוי לדגם של 10 אינץ':} \\ נציב $x=10$ במשוואת הרגרסיה: $$ y = 2(10) - 10 = 20 - 10 = \mathbf{10 \text{ דקות}} $$ \item \textbf{השפעת קיצור הזמן ב-20\%:} \\ המשמעות היא שכל ערך של y מוכפל בקבוע החיובי $0.8$. \\ (1) \textbf{מקדם המתאם $r$:} לא ישתנה. הכפלה בקבוע חיובי שומרת על הקשר הלינארי המדויק. \\ (2) \textbf{סטיית התקן של $y$ ($S_y$):} תקטן. פיזור הנתונים קטן כי הערכים מתקרבים זה לזה כאשר מכפילים בשבר קטן מ-1 (תקטן ב-20\%). \\ (3) \textbf{שיפוע ישר הרגרסיה ($m$):} יקטן. השיפוע הוא $m = r \frac{S_y}{S_x}$. מאחר ש-$r$ ו-$S_x$ לא משתנים, אך $S_y$ קטן, גם השיפוע יקטן בהתאמה. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 3 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 3 - הסתברות} \\[0.2cm] בקלמר של דנה יש 25 עפרונות זהים בגודלם בשלושה צבעים: \\ 15 עפרונות כחולים, \\ 4 עפרונות אדומים, \\ 6 עפרונות צהובים. \\ דנה מוציאה באקראי עיפרון מן הקלמר. אם העיפרון הוא כחול או אדום, היא מחזירה את העיפרון לקלמר. \\ אם העיפרון הוא צהוב, היא משאירה אותו מחוץ לקלמר. \\ לאחר מכן דנה מוציאה באקראי עיפרון נוסף מן הקלמר. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות צהובים? \item (1) מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות באותו הצבע? \\ (2) ידוע ששני העפרונות שהוציאה דנה הם באותו הצבע. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני עפרונות אדומים או שני עפרונות צהובים? \end{enumerate} \vspace{0.1cm} דנה החזירה את כל העפרונות לקלמר ונתנה לאחיה מן הקלמר $x$ עפרונות כחולים, 3 עפרונות אדומים ו־ 2 עפרונות צהובים. \\ לאחר מכן היא הוציאה באקראי שני עפרונות מן הקלמר ללא החזרה. \\ נתון: ההסתברות שדנה הוציאה עיפרון צהוב ולאחריו עיפרון אדום היא $\frac{1}{60}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item מצאו את $x$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 3} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{הוצאת שני עפרונות צהובים:} \\ ההסתברות לצהוב בראשון היא $\frac{6}{25}$. \\ מכיוון שהיא לא מחזירה צהוב, נשארו 24 עפרונות ורק 5 צהובים. \\ ההסתברות לצהוב בשני היא $\frac{5}{24}$. \\ $$ P(\text{צהוב, צהוב}) = \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{24} = \frac{30}{600} = \mathbf{0.05} $$ \item \textbf{(1) הסתברות לשני עפרונות באותו הצבע:} \\ נחשב את שאר האפשרויות: \\ כחול מוחזר, לכן ההסתברות לא משתנה: $P(\text{כחול, כחול}) = \frac{15}{25} \cdot \frac{15}{25} = 0.36$. \\ אדום מוחזר, לכן ההסתברות לא משתנה: $P(\text{אדום, אדום}) = \frac{4}{25} \cdot \frac{4}{25} = 0.0256$. \\ נחבר את כל האפשרויות: $$ P(\text{אותו צבע}) = 0.36 + 0.0256 + 0.05 = \mathbf{0.4356} $$ \textbf{(2) הסתברות מותנית:} \\ ידוע שהעפרונות באותו צבע (מכנה = 0.4356). \\ מה ההסתברות שהם אדומים או צהובים? סכום ההסתברויות שלהם הוא $0.0256 + 0.05 = 0.0756$. $$ P(\text{אדום או צהוב} | \text{אותו צבע}) = \frac{0.0756}{0.4356} = \frac{756}{4356} = \mathbf{\frac{21}{121}} \approx 0.1735 $$ \item \textbf{מציאת x:} \\ המצב החדש בקלמר לאחר שהעבירה עפרונות לאחיה: \\ כחולים: $15 - x$. \\ אדומים: $4 - 3 = 1$. \\ צהובים: $6 - 2 = 4$. \\ סך הכול עפרונות נותרים: $(15-x) + 1 + 4 = 20 - x$. \\ הוצאת שני עפרונות ללא החזרה. ההסתברות לצהוב ואז אדום: $$ P(\text{צהוב, אדום}) = \frac{4}{20-x} \cdot \frac{1}{19-x} = \frac{1}{60} $$ נכפול בהצלבה: $$ 240 = (20-x)(19-x) \implies 240 = 380 - 19x - 20x + x^2 $$ $$ x^2 - 39x + 140 = 0 $$ $$ (x-35)(x-4) = 0 $$ מכיוון שהיו רק 15 כחולים, $x=35$ אינו הגיוני. לכן, $\mathbf{x = 4}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 4 % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.55\textwidth} \vspace{0pt} \textbf{תרגיל 4 - גיאומטריה אנליטית} \\[0.2cm] במקבילית OABC הקודקוד B מונח על ציר ה־ y והנקודה O היא ראשית הצירים. \\ מן הקודקודים A ו־C העבירו אנכים לציר ה־ x, החותכים אותו בנקודות E ו־F בהתאמה (ראו סרטוט). \\ נתון: $\measuredangle AOE = \measuredangle COB$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item (1) הוכיחו: $\measuredangle AOE = \measuredangle OCF$. \\ (2) הוכיחו כי המשולשים AOE ו- OCF דומים. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} שטח המשולש OCF גדול פי 4 משטח המשולש AOE. \\ משוואות הישרים AE ו־ CF הן $x = 4$ ו- $x = -4$ בהתאמה. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2] \item (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים AOE ו- OCF . \\ (2) מצאו את אורכי הצלעות OE ו־ CF. \\ (3) מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־A. \item מצאו את שיעורי הקודקוד B. \item הוכיחו כי המקבילית OABC היא מלבן. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} אלכסוני המלבן OABC נפגשים בנקודה M. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item האם נכון כי $S_{AOE}+S_{CFO}=2\cdot S_{ABM}$ ? נמקו את תשובתכם. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \draw[-latex] (-5,0) -- (6,0) node[below] {$x$}; \draw[-latex] (0,-1) -- (0,10) node[left] {$y$}; \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (B) at (0,8); \coordinate (A) at (4,2); \coordinate (C) at (-4,6); \coordinate (E) at (4,0); \coordinate (F) at (-4,0); \draw[thick] (O) -- (A) -- (B) -- (C) -- cycle; \draw[thick] (O) -- (B); \draw[thick] (A) -- (E); \draw[thick] (C) -- (F); \fill (O) circle (1.5pt) node[below right] {O}; \fill (B) circle (1.5pt) node[above right] {B}; \fill (A) circle (1.5pt) node[right] {A}; \fill (C) circle (1.5pt) node[left] {C}; \fill (E) circle (1.5pt) node[below] {E}; \fill (F) circle (1.5pt) node[below] {F}; \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 4} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{(1) הוכחת שוויון זוויות:} \\ נסמן $\measuredangle AOE = \alpha$. נתון $\measuredangle COB = \alpha$. \\ הישר OB הוא למעשה ציר ה-y, והישר OE הוא ציר ה-x. הצירים מאונכים, לכן $\measuredangle BOE = 90^\circ$. \\ הזווית $\measuredangle AOB = 90^\circ - \alpha$. \\ סך הזווית $\measuredangle COA = \measuredangle COB + \measuredangle AOB = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$. \\ במשולש ישר הזווית $\triangle OCF$ (כי CF אנך לציר ה-x), הזווית $\measuredangle COF = 90^\circ - \alpha$ (כי $\measuredangle COF + \measuredangle COA + \measuredangle AOE = 180^\circ$, ציר ישר). \\ הזווית המשלימה ל־90 במשולש היא $\measuredangle OCF = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. \\ לכן, $\mathbf{\measuredangle AOE = \measuredangle OCF = \alpha}$. \\ \textbf{(2) דמיון משולשים:} \\ $\triangle AOE$ ו-$\triangle OCF$ הם משולשים ישרי זווית. \\ הראינו שזווית חדה אחת שווה ($\alpha$), ולכן לפי משפט ז.ז. המשולשים דומים. $\triangle AOE \sim \triangle OCF$. \item \textbf{(1) יחס הדמיון:} \\ יחס השטחים הוא 4. יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים, כלומר $\sqrt{4} = \mathbf{2}$. המשולש OCF גדול פי 2 بצלעותיו. \\ \textbf{(2) אורכי צלעות:} \\ משוואות האנכים הן $x=4$ ו-$x=-4$. לכן $OE = 4$ ו- $OF = 4$ (אורכים חיוביים). \\ מאחר שיחס הדמיון הוא 2, הצלע CF מתאימה ל-OE (מול הזווית $\alpha$). לכן $\mathbf{CF = 2 \cdot OE = 8}$. \\ \textbf{(3) שיעורי קודקודים:} \\ נקודה E היא $(4,0)$. הצלע AE מתאימה ל-OF (מול הזווית המשלימה). לכן $AE = \frac{OF}{2} = \frac{4}{2} = 2$. \\ מכאן ששיעורי הקודקודים הם \textbf{$A(4,2)$} ו-\textbf{$C(-4,8)$}. \item \textbf{שיעורי הקודקוד B:} \\ במקבילית, וקטור ההזזה שווה: $\vec{OA} = \vec{CB}$. \\ הווקטור מהראשית הוא $\vec{OA} = (4,2)$. \\ נקודה B מתקבלת מהזזת C לפי הווקטור: $B = C + \vec{OA} = (-4, 8) + (4, 2) = (0, 10)$. \\ לכן שיעורי הקודקוד הם \textbf{$B(0,10)$}. (ניתן לראות שהוא אכן יושב על ציר ה-y). \item \textbf{הוכחת מלבן:} \\ בסעיף א'(1) הוכחנו כי הזווית $\measuredangle COA$ שווה ל־$90^\circ$. \\ מקבילית שבה יש זווית ישרה היא \textbf{מלבן}. \item \textbf{יחס שטחים:} \\ נחשב את שטחי המשולשים: \\ $S_{AOE} = \frac{OE \cdot AE}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$. \\ $S_{CFO} = \frac{OF \cdot CF}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2} = 16$. \\ סכומם הוא $4 + 16 = 20$. \\ נחשב את שטח המשולש ABM. האלכסונים במלבן מחלקים אותו ל-4 משולשים שווי שטח. \\ שטח המלבן כולו: אורך OA הוא $\sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}$. אורך OC הוא $\sqrt{(-4)^2+8^2} = \sqrt{80}$. \\ $S_{OABC} = \sqrt{20} \cdot \sqrt{80} = \sqrt{1600} = 40$. \\ שטח כל משולש פנימי הוא רבע, לכן $S_{ABM} = 10$. \\ נבדוק את הטענה: $20 = 2 \cdot 10$. \textbf{הטענה נכונה.} \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 5 % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.55\textwidth} \vspace{0pt} \textbf{תרגיל 5 - מעגל משולב בגיאומטריה} \\[0.2cm] במעגל חסום משולש חד זוויות ABC. \\ נתון: $A(-5,3)$ , $B(3,7)$. \\ מרכז המעגל M נמצא על ציר ה־ y . \\ המעגל חותך את ציר ה־ x בנקודות $C$ ו- $D$ כמתואר בסרטוט שלפניכם. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item (1) הראו כי שיעורי מרכז המעגל הם $(0,3)$. \\ (2) מצאו את משוואת המעגל. \\ (3) מצאו את שיעורי הנקודות $C$ ו- $D$. \item (1) מצאו את אורך הצלע AC . \\ (2) מצאו את גודל הזווית ABC. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} הנקודה E נמצאת על הקשת הקטנה AC. \\ נתון: $EC = 7$ ס"מ. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item מהו גודל הזווית AEC ? נמקו את תשובתכם. \item מצאו את שטח המשולש AEC. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[below] {$x$}; \draw[-latex] (0,-3) -- (0,9) node[left] {$y$}; \coordinate (M) at (0,3); \draw[thick] (M) circle (5); \coordinate (A) at (-5,3); \coordinate (B) at (3,7); \coordinate (C) at (4,0); \coordinate (D) at (-4,0); \coordinate (E) at (-3,-1); % Approximate \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; \draw[thick] (A) -- (D); \draw[thick] (A) -- (E) -- (C); \fill (M) circle (1.5pt) node[right] {M}; \fill (A) circle (1.5pt) node[left] {A}; \fill (B) circle (1.5pt) node[above right] {B}; \fill (C) circle (1.5pt) node[below right] {C}; \fill (D) circle (1.5pt) node[below left] {D}; \fill (E) circle (1.5pt) node[below left] {E}; \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 5} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{(1) שיעורי המרכז:} מרכז המעגל על ציר ה-y, לכן M הוא $(0, y_m)$. \\ המרחקים למרכז מהנקודות A ו-B שווים לרדיוס המעגל: $MA = MB$. \\ $$ (-5-0)^2 + (3-y_m)^2 = (3-0)^2 + (7-y_m)^2 $$ $$ 25 + 9 - 6y_m + y_m^2 = 9 + 49 - 14y_m + y_m^2 $$ $$ 34 - 6y_m = 58 - 14y_m \implies 8y_m = 24 \implies y_m = 3 $$ לכן מרכז המעגל הוא אכן $\mathbf{M(0,3)}$. \\ \textbf{(2) משוואת המעגל:} נחשב את הרדיוס בריבוע באמצעות המרחק מ-M ל-A: \\ $$ R^2 = (-5-0)^2 + (3-3)^2 = 25 + 0 = 25 $$ משוואת המעגל: $\mathbf{x^2 + (y-3)^2 = 25}$. \\ \textbf{(3) שיעורי C ו-D:} הנקודות חותכות את ציר ה-x ($y=0$): \\ $$ x^2 + (0-3)^2 = 25 \implies x^2 + 9 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ לכן \textbf{$C(4,0)$} ו-\textbf{$D(-4,0)$}. \item \textbf{(1) אורך הצלע AC:} לפי נוסחת מרחק: $$ AC = \sqrt{(-5-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \mathbf{\sqrt{90} = 3\sqrt{10}} $$ \textbf{(2) גודל הזווית ABC:} המשולש חסום במעגל שרדיוסו 5. נשתמש במשפט הסינים: $$ \frac{AC}{\sin(\measuredangle ABC)} = 2R \implies \frac{\sqrt{90}}{\sin(\measuredangle ABC)} = 10 $$ $$ \sin(\measuredangle ABC) = \frac{\sqrt{90}}{10} \approx 0.9486 \implies \mathbf{\measuredangle ABC \approx 71.56^\circ} $$ \item \textbf{גודל הזווית AEC:} \\ המרובע ABCE הוא מרובע החסום במעגל (כי כל קודקודיו על המעגל). \\ במרובע חסום, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$. \\ לכן, $\measuredangle AEC = 180^\circ - \measuredangle ABC = 180^\circ - 71.56^\circ = \mathbf{108.44^\circ}$. \item \textbf{שטח המשולש AEC:} \\ נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש AEC כדי למצוא את אורך הצלע AE. נתון $EC=7$. \\ $$ AC^2 = AE^2 + EC^2 - 2 \cdot AE \cdot EC \cdot \cos(108.44^\circ) $$ $$ 90 = AE^2 + 49 - 14 \cdot AE \cdot (-0.316) \implies AE^2 + 4.42 AE - 41 = 0 $$ נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל את האורך החיובי: $AE \approx 4.53$. \\ כעת נחשב שטח: $$ S = \frac{AE \cdot EC \cdot \sin(108.44^\circ)}{2} = \frac{4.53 \cdot 7 \cdot 0.948}{2} \approx \mathbf{15} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 6 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 6 - חקירת פונקציית מנה} \\[0.2cm] נתונה הפונקצייה: $\displaystyle f(x)=\frac{9-4x^{2}}{1-x^{2}}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$. \\ (2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקצייה $f(x)$ המאונכות לצירים. \\ (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם הצירים. \\ (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \\ (5) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $f(x)$. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} נתונה הפונקצייה $g(x)$ המקיימת $g^{\prime}(x)=f(x)$. \\ לפונקציות $f(x)$ ו־ $g(x)$ יש אותו תחום הגדרה. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item מצאו את שיעורי ה־ x של נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$, וקבעו את סוגן. נמקו את תשובתכם. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 6} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{(1) תחום הגדרה:} \\ המכנה שונה מאפס: $1 - x^2 \neq 0 \implies \mathbf{x \neq \pm 1}$. \\ \textbf{(2) אסימפטוטות:} \\ אסימפטוטות אנכיות (מאפסות מכנה בלבד): $\mathbf{x=1, x=-1}$. \\ אסימפטוטה אופקית (יחס מקדמי החזקות הגבוהות): $y = \frac{-4}{-1} \implies \mathbf{y=4}$. \\ \textbf{(3) חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר y (נציב $x=0$): $f(0) = \frac{9}{1} = 9 \implies \mathbf{(0,9)}$. \\ חיתוך עם ציר x (נציב $y=0$): $9 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = 2.25 \implies \mathbf{(\pm 1.5, 0)}$. \\ \textbf{(4) נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ f'(x) = \frac{-8x(1-x^2) - (-2x)(9-4x^2)}{(1-x^2)^2} = \frac{-8x + 8x^3 + 18x - 8x^3}{(1-x^2)^2} = \frac{10x}{(1-x^2)^2} $$ נשווה לאפס: $10x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$. \\ ה־y הוא 9. המכנה חיובי תמיד בתחום, והמונה עובר משלילי (עבור $x<0$) לחיובי (עבור $x>0$). \\ מכאן שיש מעבר מירידה לעלייה, ולכן $\mathbf{(0,9)}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. (הערה: פתרון קודם בסקיצה הראה מקסימום, אך לפי הנגזרת המעבר הוא משלילי לחיובי, לכן מינימום. נתקן בהתאם). \\ \textbf{(5) תחומי עלייה וירידה:} \\ עלייה כאשר $f'(x) > 0$: $\mathbf{0 < x < 1}$ או $\mathbf{x > 1}$. \\ ירידה כאשר $f'(x) < 0$: $\mathbf{x < -1}$ או $\mathbf{-1 < x < 0}$. \item \textbf{סקיצה:} \\ הפונקציה חותכת את הצירים ב־1.5- ו־1.5, יורדת משמאל מ־4 לאסימפטוטה ב־1-, יורדת מ־1- לנקודת המינימום ב־(0,9), עולה לאסימפטוטה ב־1, ומשם עולה וחותכת ב־1.5 אל עבר האסימפטוטה 4. (צורת "קערה" גבוהה למעלה בין האסימפטוטות, ושני ענפים שעולים משלילי אל ה-4). \item \textbf{נקודות הקיצון של $g(x)$:} \\ נקודות קיצון של $g(x)$ מתקבלות כאשר הנגזרת שלה מתאפסת, קרי $f(x) = 0$. \\ מצאנו שזה קורה ב־$\mathbf{x = 1.5}$ ו־$\mathbf{x = -1.5}$. \\ כדי לקבוע סוג, נביט בגרף של $f(x)$ (שהוא הנגזרת של g): \\ עבור $x = -1.5$: פונקציית $f(x)$ יורדת משמאל מ-4 וחותכת את הציר מחיוב לשלילי. לכן $g(x)$ עוברת מעלייה לירידה $\implies$ \textbf{מקסימום}. \\ עבור $x = 1.5$: פונקציית $f(x)$ עולה משלילי וחותכת את הציר לשלילי לחיוב. לכן $g(x)$ עוברת מירידה לעלייה $\implies$ \textbf{מינימום}. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 7 % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.55\textwidth} \vspace{0pt} \textbf{תרגיל 7 - חקירת פונקציית שורש} \\[0.2cm] נתונה הפונקצייה $\displaystyle f(x)=(x-1)\cdot\sqrt{2x+10}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.1cm} בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים. \\ אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f^{\prime}(x)$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item קבעו איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f^{\prime}(x)$. נמקו את קביעתכם. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f^{\prime}(x)$, הישר $x=3$ וציר ה־ x. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \vspace{0pt} \end{minipage} \vspace{0.5cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cccc} % Graph I \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=4.2cm, height=4.5cm, ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=5, ymin=-15, ymax=15, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4.9:4, samples=100, thick] {(3*x+9)/sqrt(2*x+10)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,-15) -- (axis cs:-5,15); \end{axis} \node at (current bounding box.south) [below=1ex] {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=4.2cm, height=4.5cm, ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=5, ymin=-15, ymax=15, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4.9:4, samples=100, thick] {-(3*x+9)/sqrt(2*x+10)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,-15) -- (axis cs:-5,15); \end{axis} \node at (current bounding box.south) [below=1ex] {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} & % Graph III \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=4.2cm, height=4.5cm, ticks=none, axis lines=center, xmin=-5, xmax=6, ymin=-15, ymax=15, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-2.9:6, samples=100, thick] {(3*(x-2)+9)/sqrt(2*(x-2)+10)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-3,-15) -- (axis cs:-3,15); \end{axis} \node at (current bounding box.south) [below=1ex] {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=4.2cm, height=4.5cm, ticks=none, axis lines=center, xmin=-9, xmax=2, ymin=-15, ymax=15, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-6.9:2, samples=100, thick] {(3*(x+2)+9)/sqrt(2*(x+2)+10)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-7,-15) -- (axis cs:-7,15); \end{axis} \node at (current bounding box.south) [below=1ex] {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \vspace{0.5cm} \section*{פתרון תרגיל 7} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: $2x + 10 \ge 0 \implies 2x \ge -10 \implies \mathbf{x \ge -5}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה-y ($x=0$): $f(0) = (0-1)\sqrt{10} = -\sqrt{10} \implies \mathbf{(0, -\sqrt{10})}$. \\ חיתוך עם ציר ה-x ($y=0$): $(x-1)\sqrt{2x+10} = 0 \implies x=1$ או $x=-5$. \\ הנקודות הן $\mathbf{(1,0)}$ ו-\mathbf{$(-5,0)$}. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור כמכפלה: $$ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x+10} + (x-1) \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x+10}} = \frac{2x+10 + x-1}{\sqrt{2x+10}} = \frac{3x+9}{\sqrt{2x+10}} $$ נשווה לאפס: $3x+9 = 0 \implies 3x = -9 \implies \mathbf{x = -3}$. \\ שיעור ה־y: $f(-3) = (-3-1)\sqrt{2(-3)+10} = -4\sqrt{4} = -8$. \\ בנקודת הקצה התחום $x=-5$: $f(-5) = 0$. \\ סוג הקיצון: המכנה של הנגזרת חיובי. המונה $3x+9$ עולה ומחליף סימן משלילי לחיובי ב־$x=-3$. \\ לכן הפונקציה יורדת לפני -3 ועולה אחריו. \\ הנקודה $\mathbf{(-3,-8)}$ היא נקודת \textbf{מינימום מוחלט}. \\ נקודת הקצה $\mathbf{(-5,0)}$ היא \textbf{מקסימום קצה} (משום שהפונקציה יורדת ממנה). \item \textbf{סקיצה:} \\ מתחילה ב- $(-5,0)$, יורדת למינימום ב- $(-3,-8)$, עולה וחותכת את ציר y ב- $-3.16$, חותכת את ציר x ב- $(1,0)$ וממשיכה לעלות. \item \textbf{זיהוי הנגזרת:} \\ לפונקציית הנגזרת $f'(x) = \frac{3x+9}{\sqrt{2x+10}}$ יש אסימפטוטה אנכית ב־$x=-5$ (המכנה מתאפס). \\ היא מתאפסת (חותכת ציר x) ב־$x=-3$. \\ לפני -3 היא שלילית, ואחרי -3 היא חיובית. \\ גרף \textbf{I} מתאים לכל התכונות הללו (אסימפטוטה ב־5-, חיתוך ב־3-, ועולה משלילי לחיובי). \item \textbf{חישוב שטח:} \\ הנגזרת חיובית בתחום מ־$x=-3$ (נקודת החיתוך עם הציר) ועד $x=3$. \\ מכיוון שלא צוינה גבולות האינטגרל המלאים, נניח שהכוונה לשטח הכלוא בין הנגזרת, ציר x (שהוא בעצם מ- $x=-3$), והישר $x=3$. \\ $$ S = \int_{-3}^{3} f'(x) dx = \Big[ f(x) \Big]_{-3}^{3} = f(3) - f(-3) $$ נחשב ערכים: \\ $f(3) = (3-1)\sqrt{2(3)+10} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$. \\ $f(-3) = -8$ (מצאנו בסעיף הקיצון). \\ $$ S = 8 - (-8) = \mathbf{16} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 8 % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.55\textwidth} \vspace{0pt} \textbf{תרגיל 8 - בעיית קיצון גרפית} \\[0.2cm] בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $\displaystyle f(x)=3-\frac{6}{x}$ בתחום $x>0$. \\ גרף הפונקצייה $f(x)$ חותך את ציר ה־ x בנקודה A . \\ מן הנקודה $B(8,0)$ העבירו אנך לציר ה־ x. \\ C היא נקודה כלשהי על גרף הפונקצייה $f(x)$. \\ נסמן ב־ t את שיעור ה־ x של הנקודה C, כאשר $2

חורף - 2024