\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- ספריות לעיצוב העמוד --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm} % --- ספריות למתמטיקה וגרפים --- \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} % --- ספריות לעברית מודרנית --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} % עיצוב רשימות לאותיות עבריות מודגשות \usepackage{enumitem} \begin{document} % ========================================== % תרגיל 1 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 1} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = 2x\sqrt{9-x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן (כולל נקודות קצה). \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ הוא $x < 9$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item אחד מן הגרפים IV-I שלפניכם מתאר את גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$. \\ קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם. \end{enumerate} \vspace{0.4cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cc} % Graph I \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-2, xmax=11, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-2:8.8, samples=100, thick] {(36-6*x)/(2*sqrt(9-x))/2}; \draw[dashed, thick] (axis cs:9,-5) -- (axis cs:9,5); \end{axis} \node at (4,-1) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-2, xmax=11, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-2:8.8, samples=100, thick] {-(36-6*x)/(2*sqrt(9-x))/2}; \draw[dashed, thick] (axis cs:9,-5) -- (axis cs:9,5); \end{axis} \node at (4,-1) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ % Graph III \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-2, xmax=11, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-2:8.8, samples=100, thick] {(18-6*x)/(2*sqrt(9-x))/2}; \draw[dashed, thick] (axis cs:9,-5) -- (axis cs:9,5); \end{axis} \node at (4,-1) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-2, xmax=11, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-2:8.8, samples=100, thick] {-x/sqrt(9-x)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:9,-5) -- (axis cs:9,5); \end{axis} \node at (4,-1) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \newpage % ========================================== % פתרון 1 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 1} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי-שלילי: $9 - x \ge 0 \implies \mathbf{x \le 9}$. \item \textbf{נקודות חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$: נציב $x=0 \implies f(0) = 2(0)\sqrt{9-0} = 0$. הנקודה: $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$: נציב $y=0 \implies 2x\sqrt{9-x} = 0$. \\ הפתרונות הם $x=0$ או $9-x=0 \implies x=9$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(0,0), (9,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה (נגזרת מכפלה): $$f'(x) = 2\sqrt{9-x} + 2x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{9-x}} = 2\sqrt{9-x} - \frac{x}{\sqrt{9-x}}$$ נעשה מכנה משותף: $$f'(x) = \frac{2(9-x) - x}{\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 2x - x}{\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 3x}{\sqrt{9-x}}$$ נשווה את הנגזרת לאפס: $18 - 3x = 0 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. \\ נמצא את שיעור ה־$y$: $f(6) = 2(6)\sqrt{9-6} = 12\sqrt{3} \approx 20.78$. \\ נבדוק את סוג הקיצון בעזרת טבלה או סימן הנגזרת (המונה קובע כי המכנה חיובי תמיד): \\ עבור $x < 6$, נציב למשל $x=0$: $f'(0) = \frac{18}{3} > 0$ (עלייה). \\ עבור $6 < x < 9$, נציב למשל $x=8$: $f'(8) = \frac{18-24}{1} < 0$ (ירידה). \\ לכן, הנקודה הפנימית $\mathbf{(6, 12\sqrt{3})}$ היא \textbf{מקסימום}. \\ בקצה התחום $x=9$, הפונקציה יורדת אל הנקודה ולכן $\mathbf{(9,0)}$ היא \textbf{מינימום קצה}. \\ \textit{(הערה: אין נקודת קצה שמאלית כיוון שהפונקציה ממשיכה עד למינוס אינסוף, שם $y \to -\infty$ ולכן $(0,0)$ אינה קיצון אלא רק נקודת חיתוך).} \item \textbf{סקיצת הפונקציה:} הפונקציה עולה ממינוס אינסוף דרך ראשית הצירים (0,0), מגיעה למקסימום ב־$(6, 12\sqrt{3})$ ויורדת עד לנקודת הקצה על ציר ה־$x$ ב־$(9,0)$. \item \textbf{זיהוי גרף הנגזרת:} \\ מצאנו שהנגזרת מתאפסת רק ב־$x=6$. בנוסף, הראינו כי $f'(x) > 0$ עבור $x < 6$, וכי $f'(x) < 0$ עבור $6 < x < 9$. כמו כן, יש לנגזרת אסימפטוטה אנכית ב־$x=9$. \\ גרף I מתאפס ב־$x=6$, חיובי משמאל ושלילי מימין, עם אסימפטוטה ב־$x=9$. (גרף II הפוך בסימניו, וגרפים III ו-IV מתאפסים בנקודות אחרות). \\ לכן, הגרף המתאים הוא \textbf{גרף I}. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 2 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 2} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = x^2\sqrt{5-x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} נתונה הפונקציה $g(x) = a \cdot f'(x)$, המוגדרת בתחום $x < 5$. $a$ הוא פרמטר שלילי ($a < 0$). \\ השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה־$x$, ועל ידי ציר ה־$y$ ($x=0$) והישר $x=4$, שווה ל־32. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item מצאו את הערך של $a$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 2 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 2} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: $5 - x \ge 0 \implies \mathbf{x \le 5}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0) = 0^2\sqrt{5} = 0$. הנקודה: $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $x^2\sqrt{5-x} = 0 \implies x=0$ או $x=5$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(0,0), (5,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה (כמכפלה): $$f'(x) = 2x\sqrt{5-x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} = \frac{4x(5-x) - x^2}{2\sqrt{5-x}} = \frac{20x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{5-x}} = \frac{20x - 5x^2}{2\sqrt{5-x}}$$ נשווה את המונה לאפס: $20x - 5x^2 = 0 \implies 5x(4 - x) = 0$. \\ הפתרונות הם $x=0$ ו־$x=4$. \\ שיעורי ה־$y$: $$f(0) = 0$$ $$f(4) = 4^2\sqrt{5-4} = 16\sqrt{1} = 16$$ נקודת קצה נוספת היא ב־$x=5$: $f(5) = 0$. \\ נבדוק סוג קיצון: נגזרת המונה היא $y''_{mona} = 20 - 10x$. עבור $x=0$, מקבלים $20 > 0 \implies$ \textbf{מינימום}. עבור $x=4$, מקבלים $20 - 40 < 0 \implies$ \textbf{מקסימום}. בנוסף, מאחר והפונקציה חיובית לפני הקצה ויורדת אליו, הנקודה $x=5$ היא \textbf{מינימום קצה}. \\ לסיכום: $\mathbf{(0,0)}$ \textbf{מינימום מקומי}, $\mathbf{(4,16)}$ \textbf{מקסימום מוחלט}, $\mathbf{(5,0)}$ \textbf{מינימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} הגרף יורד מאינסוף למינימום בראשית הצירים (0,0), עולה לנקודת המקסימום ב־(4,16), ואז יורדת עד לנקודת הקצה ב־(5,0). \item \textbf{מציאת הפרמטר $a$:} \\ אנו יודעים כי הנגזרת $f'(x)$ חיובית בתחום שבין $x=0$ ל־$x=4$ (פונקציה $f(x)$ עולה). \\ מכיוון שנתון $a < 0$, הפונקציה $g(x) = a \cdot f'(x)$ תהיה שלילית לחלוטין בתחום זה (גרף מתחת לציר ה־$x$). \\ לכן, השטח בין הפונקציה לציר ה־$x$ מחושב כך: $$S = \int_{0}^{4} (0 - g(x)) \,dx = \int_{0}^{4} -a \cdot f'(x) \,dx = -a \cdot \Big[ f(x) \Big]_{0}^{4}$$ $$S = -a(f(4) - f(0)) = -a(16 - 0) = -16a$$ נשווה לשטח הנתון: $$-16a = 32 \implies \mathbf{a = -2}$$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 3 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 3} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = (x-1)^2 \sqrt{6-x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ (כולל נקודת קצה), וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) - c$, כאשר $c$ הוא פרמטר. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item מצאו את כל הערכים האפשריים של הפרמטר $c$ בעבורם יש לגרף הפונקציה $g(x)$ \textbf{בדיוק שתי נקודות חיתוך} עם ציר ה־$x$. נמקו. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 3 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 3} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: $6 - x \ge 0 \implies \mathbf{x \le 6}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0) = (-1)^2\sqrt{6-0} = \sqrt{6}$. הנקודה: $\mathbf{(0, \sqrt{6})}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $(x-1)^2\sqrt{6-x} = 0 \implies x=1$ או $x=6$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(1,0), (6,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = 2(x-1)\sqrt{6-x} + (x-1)^2 \frac{-1}{2\sqrt{6-x}} = \frac{4(x-1)(6-x) - (x-1)^2}{2\sqrt{6-x}}$$ נוציא גורם משותף $(x-1)$ במונה: $$f'(x) = \frac{(x-1)[4(6-x) - (x-1)]}{2\sqrt{6-x}} = \frac{(x-1)[24 - 4x - x + 1]}{2\sqrt{6-x}} = \frac{(x-1)(25 - 5x)}{2\sqrt{6-x}}$$ הנגזרת מתאפסת כאשר: $x-1 = 0 \implies x=1$, וכאשר $25 - 5x = 0 \implies x=5$. \\ נמצא את שיעורי ה־$y$: $$f(1) = 0$$ $$f(5) = (5-1)^2\sqrt{6-5} = 4^2 \cdot 1 = 16$$ לכך מתווספת נקודת הקצה ב־$x=6$: $f(6) = 0$. \\ סוג הקיצון נקבע לפי הסימן של $(x-1)(25-5x)$: זוהי פרבולה "בוכה" בעלת שורשים ב-1 ו-5. לכן היא שלילית מחוץ לשורשים וחיובית ביניהם. \\ עבור $x < 1$, הנגזרת שלילית (ירידה). עבור $1 < x < 5$, הנגזרת חיובית (עלייה). עבור $5 < x < 6$, הנגזרת שלילית (ירידה). \\ לכן: $\mathbf{(1,0)}$ \textbf{מינימום מקומי}, $\mathbf{(5,16)}$ \textbf{מקסימום}, והקצה $\mathbf{(6,0)}$ הוא \textbf{מינימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} הפונקציה יורדת מהאינסוף (עבור $x$ שלילי) עד לנקודת המינימום (1,0) הנוגעת בציר ה־$x$, משם היא עולה אל המקסימום ב־(5,16) ואז יורדת אל נקודת הקצה (6,0) המונחת גם היא על הציר. \item \textbf{מציאת הפרמטר $c$:} \\ הפונקציה $g(x) = f(x) - c$ היא למעשה הזזה אנכית של $f(x)$. אנו רוצים בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$), כלומר פתרון למשוואה $f(x) = c$ בשתי נקודות. נסתכל על גרף הפונקציה $f(x)$: - למשוואה $f(x) = 0$ יש בדיוק שתי נקודות חיתוך ($x=1, x=6$). לכן $\mathbf{c=0}$ הוא פתרון. - עבור $0 < c < 16$, כל ישר אופקי יחתוך את הגרף ב-3 נקודות (אחת לפני המינימום ושתיים בין המינימום למקסימום לקצה). - עבור $c = 16$, הישר ישיק בנקודת המקסימום (5,16) ויחתוך בעוד נקודה אחת בצד שמאל (שם הפונקציה עולה חזרה לאינסוף כיוון שיורדת משמאל ל-1). לכן יש בדיוק 2 נקודות חיתוך. $\mathbf{c=16}$ הוא פתרון. - עבור $c > 16$, הישר חותך את הענף השמאלי בלבד (נקודה אחת). - עבור $c < 0$, הישר חותך רק את הענף השמאלי. תשובה: $\mathbf{c = 0}$ או $\mathbf{c = 16}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 4 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 4} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = -x + 4\sqrt{x+5}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ (כולל נקודת קצה), וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item קבעו איזה מן הגרפים IV-I שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. נמקו את קביעתכם. \end{enumerate} \vspace{0.4cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cc} % Graph I \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-7, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4.9:6, samples=100, thick] {-1 + 2/sqrt(x+5)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,-5) -- (axis cs:-5,5); \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-7, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4.9:6, samples=100, thick] {1 - 2/sqrt(x+5)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,-5) -- (axis cs:-5,5); \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ % Graph III \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-7, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4.9:6, samples=100, thick] {-1 + 4/sqrt(x+5)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,-5) -- (axis cs:-5,5); \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-4, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-0.9:6, samples=100, thick] {-1 + 2/sqrt(x+1)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-1,-5) -- (axis cs:-1,5); \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \newpage % ========================================== % פתרון 4 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 4} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש אי-שלילי: $x + 5 \ge 0 \implies \mathbf{x \ge -5}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0) = 0 + 4\sqrt{5} \approx 8.94$. הנקודה: $\mathbf{(0, 4\sqrt{5})}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $-x + 4\sqrt{x+5} = 0 \implies x = 4\sqrt{x+5}$. \\ נעלה בריבוע (כאשר נדרש $x \ge 0$): $$x^2 = 16(x+5) \implies x^2 = 16x + 80 \implies x^2 - 16x - 80 = 0$$ $$(x-20)(x+4) = 0 \implies x=20 \text{ או } x=-4$$ נוודא את הפתרונות: אם $x=-4$, אזי $-(-4) + 4\sqrt{1} = 4 + 4 \neq 0$ (פתרון נפסל). אם $x=20$, נקבל $-20 + 4\sqrt{25} = -20 + 20 = 0$ (פתרון תקין). \\ לכן הנקודה היא: $\mathbf{(20,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = -1 + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}} = -1 + \frac{2}{\sqrt{x+5}}$$ נשווה את הנגזרת לאפס: $$-1 + \frac{2}{\sqrt{x+5}} = 0 \implies \frac{2}{\sqrt{x+5}} = 1 \implies \sqrt{x+5} = 2 \implies x+5 = 4 \implies x = -1$$ נמצא את שיעור ה־$y$: $f(-1) = -(-1) + 4\sqrt{4} = 1 + 8 = 9$. \\ נקודת קצה התחום היא $x=-5$: $f(-5) = 5 + 4(0) = 5$. \\ סוג הקיצון לפי ערכי ביניים של הנגזרת (המכנה חיובי, המונה הוא $2-\sqrt{x+5}$): עבור $-5 < x < -1$ (למשל $x=-4$): $f'(-4) = -1 + 2 = 1 > 0$ (עלייה). \\ עבור $x > -1$ (למשל $x=4$): $f'(4) = -1 + \frac{2}{3} < 0$ (ירידה). \\ לכן: $\mathbf{(-1, 9)}$ היא \textbf{מקסימום מוחלט}. קצה התחום $\mathbf{(-5, 5)}$ הוא \textbf{מינימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} הגרף מתחיל בנקודת המינימום קצה (-5,5), עולה אל המקסימום המוחלט ב־(-1,9), משם יורד לאינסוף (חותך את ציר y ב־8.94 ואת ציר ה־$x$ ב־(20,0)). \item \textbf{זיהוי גרף הנגזרת:} \\ מצאנו שפונקציית הנגזרת $f'(x) = -1 + \frac{2}{\sqrt{x+5}}$ מוגדרת עבור $x > -5$, ולכן יש לה אסימפטוטה אנכית ב־$x=-5$. נקודת ההתאפסות היחידה של הנגזרת היא ב־$x=-1$. על סמך סעיף ג', הנגזרת חיובית עבור $-5 < x < -1$ ושלילית עבור $x > -1$. גרף I מציג אסימפטוטה ב-5, התאפסות ב-1 (הוא חיובי לפני ההתאפסות ושלילי אחריה). לכן, הגרף המתאים הוא \textbf{גרף I}. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 5 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 5} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = (8-x)\sqrt{x+1}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ (כולל נקודת קצה), וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$, על ידי ציר ה־$y$ ($x=0$), ועל ידי הישר $x=2$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 5 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 5} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש אי-שלילי: $x + 1 \ge 0 \implies \mathbf{x \ge -1}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0) = (8-0)\sqrt{1} = 8$. הנקודה: $\mathbf{(0, 8)}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $(8-x)\sqrt{x+1} = 0 \implies x=8$ או $x=-1$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(8,0), (-1,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה (גזירת מכפלה): $$f'(x) = -1\cdot\sqrt{x+1} + (8-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-2(x+1) + (8-x)}{2\sqrt{x+1}}$$ $$f'(x) = \frac{-2x - 2 + 8 - x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{x+1}}$$ נשווה את הנגזרת לאפס: $6 - 3x = 0 \implies 3x = 6 \implies x=2$. \\ נמצא את שיעור ה־$y$: $f(2) = (8-2)\sqrt{2+1} = 6\sqrt{3} \approx 10.39$. \\ נקודת קצה התחום היא $x=-1$: $f(-1) = 0$. \\ נבדוק סוג קיצון: המונה של הנגזרת הוא $6-3x$, אשר מהווה קו ישר יורד. לכן, עבור $x<2$ הנגזרת חיובית, ועבור $x>2$ הנגזרת שלילית. \\ הפונקציה עולה מ־-1 ל־2, ויורדת החל מ־2. \\ לכן, $\mathbf{(2, 6\sqrt{3})}$ היא \textbf{מקסימום מוחלט}, ונקודת הקצה $\mathbf{(-1,0)}$ היא \textbf{מינימום קצה}. \textit{(בנוסף, מאחר ו־$f(x) \to -\infty$ ככל ש־$x \to \infty$, זוהי נקודת המינימום היחידה).} \item \textbf{סקיצה:} הפונקציה מתחילה בנקודת המינימום על ציר ה־$x$ (-1,0), עולה לנקודת המקסימום המוחלט ב־(2, 10.39), ומשם יורדת וחותכת שוב את ציר ה־$x$ בנקודה (8,0), וממשיכה למטה עד למינוס אינסוף. \item \textbf{חישוב השטח:} \\ אנו מתבקשים לחשב את השטח הכלוא על ידי הנגזרת $f'(x)$ וציר ה־$x$, בין $x=0$ ל־$x=2$. על סמך סעיף ג', בתחום זה פונקציית הנגזרת חיובית. לכן, השטח הוא האינטגרל הישיר של פונקציית הנגזרת בתחום זה: $$S = \int_{0}^{2} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{0}^{2} = f(2) - f(0)$$ נציב את הערכים הידועים: $$f(2) = 6\sqrt{3}$$ $$f(0) = 8$$ $$S = \mathbf{6\sqrt{3} - 8 \approx 2.39}$$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 6 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 6} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = (x-4)\sqrt{x+2}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן (כולל נקודות קצה). \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־x, ציר ה־y והישר $x=4$. \end{enumerate} \newpage % --- פתרון 6 --- \section*{פתרון תרגיל 6} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי בתוך השורש אי-שלילי: $x + 2 \ge 0 \implies \mathbf{x \ge -2}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־y: נציב $x=0 \implies f(0) = -4\sqrt{2}$. הנקודה: $\mathbf{(0, -4\sqrt{2})}$. \\ חיתוך עם ציר ה־x: נציב $y=0 \implies (x-4)\sqrt{x+2} = 0$. \\ הפתרונות הם $x=4$ או $x=-2$. הנקודות הן: $\mathbf{(4,0), (-2,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה (נגזרת מכפלה): $$f'(x) = 1\cdot\sqrt{x+2} + (x-4)\frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2) + x - 4}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x}{2\sqrt{x+2}}$$ נשווה לאפס: $3x = 0 \implies x = 0$. \\ נמצא את שיעור ה־y: $f(0) = -4\sqrt{2}$. \\ נבדוק סוג קיצון: המכנה חיובי, המונה הוא $3x$ שעובר משלילי לחיובי בסביבת $x=0$. לכן, $\mathbf{(0, -4\sqrt{2})}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. \\ נקודת קצה התחום היא ב־$x=-2$. הפונקציה יורדת אל המינימום, ולכן $\mathbf{(-2,0)}$ היא נקודת \textbf{מקסימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} \\ הגרף מתחיל במקסימום קצה ב־$(-2,0)$, יורד עד לנקודת המינימום המוחלט על ציר ה־y ב־$(0, -4\sqrt{2})$, ומשם עולה לאינסוף כשהוא חותך את ציר ה־x ב־$(4,0)$. \item \textbf{חישוב שטח:} \\ אנו מתבקשים לחשב את השטח הכלוא על ידי $f'(x)$ וציר ה־x בין $x=0$ ל־$x=4$. \\ על פי סעיף ג', בתחום זה $f'(x) \ge 0$ (הפונקציה $f(x)$ עולה). \\ לכן, השטח הוא האינטגרל הישיר: $$S = \int_{0}^{4} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{0}^{4} = f(4) - f(0)$$ נציב את הערכים: $f(4) = 0$, ו־$f(0) = -4\sqrt{2}$. $$S = 0 - (-4\sqrt{2}) = \mathbf{4\sqrt{2}}$$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 7 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 7} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה: $f(x) = x^2 - 4\sqrt{x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. \item קבעו איזה מן הגרפים I-IV מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. נמקו את קביעתכם.\\ \vspace{0.4cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cc} % Graph I (Correct) \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=0.15:3.5, samples=100, thick] {2*x - 2/sqrt(x)}; \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=0.15:3.5, samples=100, thick] {-2*x + 2/sqrt(x)}; \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ % Graph III \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=0:3.5, samples=100, thick] {2*x*sqrt(x) - 2}; \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=0.15:3.5, samples=100, thick] {1.5*x - 3/sqrt(x/2)}; \end{axis} \node at (2,-2) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את משוואת המשיק לפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=2$. \end{enumerate} \newpage % --- פתרון 7 --- \section*{פתרון תרגיל 7} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש אי-שלילי: $\mathbf{x \ge 0}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר y: נציב $x=0 \implies f(0) = 0$. הנקודה: $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר x: $x^2 - 4\sqrt{x} = 0 \implies x^2 = 4\sqrt{x}$. \\ נעלה בריבוע: $x^4 = 16x \implies x(x^3 - 16) = 0$. \\ הפתרונות הם $x=0$ או $x^3=16 \implies x = \sqrt[3]{16}$ (או $2\sqrt[3]{2} \approx 2.52$). \\ הנקודות הן: $\mathbf{(0,0), (\sqrt[3]{16}, 0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = 2x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2x\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$$ נשווה מונה לאפס: $2x\sqrt{x} - 2 = 0 \implies x\sqrt{x} = 1 \implies x^{3/2} = 1 \implies x=1$. \\ שיעור ה־y: $f(1) = 1^2 - 4\sqrt{1} = -3$. \\ הנגזרת עוברת משלילי לחיובי בסביבת $x=1$, לכן $\mathbf{(1, -3)}$ היא \textbf{מינימום}. \\ נקודת הקצה היא ב־$x=0$. הפונקציה יורדת אל המינימום, ולכן $\mathbf{(0,0)}$ היא \textbf{מקסימום קצה}. \item \textbf{זיהוי גרף הנגזרת:} \\ ראינו ש־$f'(x) = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$. הנגזרת אינה מוגדרת ב־$x=0$, וכאשר $x \to 0^+$, הנגזרת שואפת למינוס אינסוף (אסימפטוטה אנכית כלפי מטה). בנוסף, הנגזרת מתאפסת ב־$x=1$. \\ גרף III לא מתאים כי אין בו אסימפטוטה. \\ גרף II מציג אסימפטוטה כלפי מעלה. \\ גרף IV חותך את ציר ה־x בנקודה שונה מ-1 (נראה כמו 2). \\ גרף I מציג אסימפטוטה כלפי מטה וחותך את הציר בדיוק ב־$x=1$. \\ לכן, הגרף המתאים הוא \textbf{גרף I}. \item \textbf{סקיצה:} \\ הפונקציה מתחילה במקסימום קצה (0,0), יורדת לנקודת המינימום המוחלט ב־(1,-3), ועולה לאינסוף תוך שהיא חותכת את ציר ה־x ב־$(\sqrt[3]{16}, 0)$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 8 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 8} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = x\sqrt{a-x}$, כאשר $a$ הוא פרמטר. \\ ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית בנקודה שבה $x=4$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את הערך של $a$.\\ \\ הציבו את $a=12$ \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. \item מצאו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל קצוות), וקבעו את סוגן. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y. \end{enumerate} \newpage % --- פתרון 8 --- \section*{פתרון תרגיל 8} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{מציאת הפרמטר a:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = 1\cdot\sqrt{a-x} + x\cdot\frac{-1}{2\sqrt{a-x}} = \frac{2(a-x) - x}{2\sqrt{a-x}} = \frac{2a - 3x}{2\sqrt{a-x}}$$ נתון שיש קיצון ב־$x=4$, לכן המונה מתאפס שם: $$2a - 3(4) = 0 \implies 2a = 12 \implies \mathbf{a = 6}$$ \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ נציב $a=6$ ונקבל $f(x) = x\sqrt{6-x}$. \\ תנאי השורש: $6 - x \ge 0 \implies \mathbf{x \le 6}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר ה־y: נציב $x=0 \implies f(0) = 0$. הנקודה $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר ה־x: $x\sqrt{6-x} = 0 \implies x=0$ או $x=6$. \\ הנקודות הן $\mathbf{(0,0), (6,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ הנגזרת היא $f'(x) = \frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}$. ראינו שהיא מתאפסת ב־$x=4$. \\ שיעור ה־y: $f(4) = 4\sqrt{6-4} = 4\sqrt{2} \approx 5.65$. \\ עבור $x < 4$ הנגזרת חיובית (עלייה), ועבור $x > 4$ הנגזרת שלילית (ירידה). \\ לכן $\mathbf{(4, 4\sqrt{2})}$ היא נקודת \textbf{מקסימום מוחלט}. \\ נקודת קצה התחום היא ב־$x=6$. הפונקציה יורדת אליה ולכן $\mathbf{(6,0)}$ היא \textbf{מינימום קצה}. \\ (אין קצה שמאלי, כיוון שהפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר $x \to -\infty$). \item \textbf{חישוב שטח:} \\ נדרש למצוא את השטח המוגבל בין $f'(x)$ לצירים (ציר x וציר y). \\ ציר ה־y הוא הישר $x=0$. הנגזרת מתאפסת ב־$x=4$ וחותכת שם את ציר ה־x. בתחום מ־0 עד 4 הנגזרת חיובית. לכן השטח הוא: $$S = \int_{0}^{4} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{0}^{4} = f(4) - f(0)$$ $$S = 4\sqrt{2} - 0 = \mathbf{4\sqrt{2}}$$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 9 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 9} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 3)\sqrt{x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. \item מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item על סמך הסקיצה שסרטטתם, קבעו בעבור אילו ערכים של הפרמטר $k$ למשוואה $f(x) = k$ יש \textbf{בדיוק פתרון אחד}. נמקו. \end{enumerate} \newpage % --- פתרון 9 --- \section*{פתרון תרגיל 9} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש מחייב: $\mathbf{x \ge 0}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר y ($x=0$): $f(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0$. הנקודה $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר x ($y=0$): $(x^2-3)\sqrt{x} = 0$. \\ אפשרות אחת היא $x=0$. אפשרות שניה היא $x^2-3=0 \implies x^2=3$. \\ מכיוון ש־$x \ge 0$, נבחר רק את $x=\sqrt{3}$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(0,0), (\sqrt{3}, 0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = 2x\sqrt{x} + (x^2-3)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^2 + x^2 - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 - 3}{2\sqrt{x}}$$ נשווה מונה לאפס: $5x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{5} = 0.6$. \\ בתחום $x \ge 0$, הפתרון הוא $x = \sqrt{0.6} \approx 0.77$. \\ נמצא את שיעור ה־y (נציב בפונקציה): $$f(\sqrt{0.6}) = (0.6 - 3)\sqrt{\sqrt{0.6}} = -2.4\sqrt[4]{0.6} \approx -2.11$$ המונה הוא פרבולה צוחקת ולכן הנגזרת עוברת משלילי לחיובי. הנקודה $\mathbf{(\sqrt{0.6}, -2.4\sqrt[4]{0.6})}$ היא \textbf{מינימום מוחלט}. \\ נקודת קצה התחום היא ב־$x=0$. מכיוון שהפונקציה יורדת משם, $\mathbf{(0,0)}$ היא \textbf{מקסימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} \\ הפונקציה מתחילה בראשית הצירים (0,0), יורדת לנקודת המינימום בערך ב־$(0.77, -2.11)$, ומשם עולה בתלילות חזרה, חותכת את ציר ה־x ב־$(\sqrt{3}, 0)$ וממשיכה לאינסוף. \item \textbf{פתרונות למשוואה $f(x)=k$:} \\ נדרש למצוא מתי ישר אופקי $y=k$ חותך את הגרף פעם אחת בלבד. על פי הסקיצה: - עבור $k > 0$: הישר חותך רק את הענף הימני שעולה לאינסוף (פתרון אחד). - עבור $k = 0$: הישר חותך ב־(0,0) וב־$(\sqrt{3},0)$ (שני פתרונות). - עבור $-2.4\sqrt[4]{0.6} < k < 0$: הישר חותך פעמיים (פעם בדרך למטה ופעם בדרך למעלה). - עבור $k = -2.4\sqrt[4]{0.6}$: הישר משיק לנקודת המינימום (פתרון אחד). - עבור $k < -2.4\sqrt[4]{0.6}$: אין חיתוך (אפס פתרונות). \\ לסיכום: פתרון אחד מתקבל עבור $\mathbf{k > 0}$ או $\mathbf{k = -2.4\sqrt[4]{0.6}}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 10 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 10} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $f(x) = (3-x)\sqrt{x}$. \vspace{0.3cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה. \item מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. \item מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן (כולל נקודות קצה). \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y. \end{enumerate} \newpage % --- פתרון 10 --- \section*{פתרון תרגיל 10} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי תחת השורש אי-שלילי: $\mathbf{x \ge 0}$. \item \textbf{נקודות חיתוך:} \\ חיתוך עם ציר y ($x=0$): $f(0) = 0$. הנקודה $\mathbf{(0,0)}$. \\ חיתוך עם ציר x ($y=0$): $(3-x)\sqrt{x} = 0 \implies x=0$ או $x=3$. \\ הנקודות הן $\mathbf{(0,0), (3,0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = -1\cdot\sqrt{x} + (3-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + 3 - x}{2\sqrt{x}} = \frac{3 - 3x}{2\sqrt{x}}$$ נשווה לאפס: $3 - 3x = 0 \implies x = 1$. \\ נמצא את שיעור ה־y: $f(1) = (3-1)\sqrt{1} = 2$. \\ הנגזרת עוברת מחיובי (עבור $x<1$) לשלילי (עבור $x>1$), ולכן $\mathbf{(1, 2)}$ היא נקודת \textbf{מקסימום מוחלט}. \\ נקודת קצה התחום היא $x=0$. מכיוון שהפונקציה עולה משם, $\mathbf{(0,0)}$ היא \textbf{מינימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} \\ הגרף יוצא מראשית הצירים (0,0), עולה לנקודת המקסימום המוחלט ב־(1,2), משם יורד, חותך את ציר ה־x ב־(3,0) וממשיך לרדת עד מינוס אינסוף. \item \textbf{חישוב שטח:} \\ נדרש לחשב את השטח הכלוא בין $f'(x)$, ציר ה־x וציר ה־y. \\ ציר ה־y הוא $x=0$. פונקציית הנגזרת מתאפסת (וחותכת את ציר x) ב־$x=1$. \\ בתחום מ־0 עד 1, הנגזרת חיובית (הפונקציה במגמת עלייה). לכן השטח מחושב ישירות: $$S = \int_{0}^{1} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{0}^{1} = f(1) - f(0)$$ נציב את הערכים: $f(1) = 2$, ו־$f(0) = 0$. $$S = 2 - 0 = \mathbf{2}$$ \end{enumerate} \end{document} \end{document}

חקירת פונקצית שורש