\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- ספריות לעיצוב העמוד --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm} % --- ספריות לריווח שורות --- \usepackage{setspace} \onehalfspacing % --- ספריות למתמטיקה וגרפים --- \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} % --- צבעים --- \usepackage{xcolor} % הגדרת אדום יין עדין לפי בקשתך \definecolor{winered}{HTML}{8C333D} % --- ספריות לעברית מודרנית --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} % עיצוב רשימות לאותיות עבריות מודגשות \usepackage{enumitem} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \fancyfoot[C]{\footnotesize כל הזכויות שמורות לגיא קורן. אין להעתיק, לצלם, לשכפל או לפרסם את המסמך או חלקו ללא אישור בכתב מגיא קורן.} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{1pt} \begin{document} % ========================================== % תרגיל 1 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 1} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{a}{(x-4)^2}}$, המוגדרת בתחום $x \neq 4$. \\ $a$ הוא פרמטר חיובי. \vspace{0.2cm} נתון כי בנקודה שבה $x=2$, שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $\frac{1}{4}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את הערך של $a$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} הציבו $a=1$, וענו על הסעיפים ב-ה. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2] \item (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה). \\ (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$. \\ (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item (1) קבעו איזה מן הגרפים IV-I שלפניכם מתאר את גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$. נמקו. \\ (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$, ועל ידי הישרים $x=1$ ו־$x=3$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cc} % Graph I \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=9, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-1:3.7, samples=50, thick, winered] {1/(4-x)}; \addplot[domain=4.3:9, samples=50, thick, winered] {1/(4-x)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:4,-5) -- (axis cs:4,5); \end{axis} \node at (3,-0.5) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=9, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-1:3.7, samples=50, thick, winered] {-1/(4-x)}; \addplot[domain=4.3:9, samples=50, thick, winered] {-1/(4-x)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:4,-5) -- (axis cs:4,5); \end{axis} \node at (3,-0.5) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ % Graph III \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=9, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-1:3.7, samples=50, thick, winered] {1/((4-x)^2)}; \addplot[domain=4.3:9, samples=50, thick, winered] {1/((4-x)^2)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:4,-5) -- (axis cs:4,5); \end{axis} \node at (3,-0.5) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-1, xmax=9, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-1:3.7, samples=50, thick, winered] {-1/((4-x)^2)}; \addplot[domain=4.3:9, samples=50, thick, winered] {-1/((4-x)^2)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:4,-5) -- (axis cs:4,5); \end{axis} \node at (3,-0.5) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \vspace{0.2cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5] \item נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{g(x) = f'(x) + 3}$. \\ בכמה גדול השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, ציר ה־$x$, והישרים $x=1$ ו־$x=3$, מן השטח שמצאתם בסעיף ד(2)? נמקו את תשובתכם. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 1 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 1} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{מציאת הערך של $a$:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ f'(x) = \frac{0 \cdot (x-4)^2 - a \cdot 2(x-4)}{(x-4)^4} = \frac{-2a}{(x-4)^3} $$ נציב $x=2$ ונשווה לשיפוע הנתון $\frac{1}{4}$: $$ f'(2) = \frac{-2a}{(2-4)^3} = \frac{-2a}{(-2)^3} = \frac{-2a}{-8} = \frac{a}{4} $$ $$ \frac{a}{4} = \frac{1}{4} \implies \textbf{a = 1} $$ \item \textbf{חקירת הפונקציה עבור $a=1$, $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-4)^2}}$:} \\ \textbf{(1) חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ (נציב $x=0$): $\displaystyle f(0) = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$. הנקודה: $\mathbf{(0, \frac{1}{16})}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ (נציב $y=0$): $\displaystyle \frac{1}{(x-4)^2} = 0$. אין פתרון, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־$x$. \\ \textbf{(2) אסימפטוטות:} \\ אסימפטוטה אנכית מאפסת מכנה: $\mathbf{x = 4}$. \\ אסימפטוטה אופקית (חזקת המכנה גדולה מזו של המונה): $\mathbf{y = 0}$. \\ \textbf{(3) תחומי עלייה וירידה:} \\ הנגזרת היא $\displaystyle f'(x) = \frac{-2}{(x-4)^3}$. אין נקודות קיצון ($f'(x) \neq 0$). \\ נבדוק סימנים: עבור $x < 4$, המכנה שלילי, והמונה שלילי, לכן $f'(x) > 0$ (עלייה). \\ עבור $x > 4$, המכנה חיובי, והמונה שלילי, לכן $f'(x) < 0$ (ירידה). \\ \textbf{תחום עלייה: $x < 4$. תחום ירידה: $x > 4$.} \item \textbf{סקיצה:} (הפונקציה חיובית תמיד, עולה משמאל לאסימפטוטה ויורדת מימינה). \item \textbf{(1) זיהוי גרף הנגזרת:} \\ ראינו כי עבור $x<4$ הנגזרת חיובית, ועבור $x>4$ הנגזרת שלילית. בנוסף יש לה אסימפטוטה אנכית ב־$x=4$. \\ הגרף היחיד שעונה על תנאים אלו (חיובי משמאל ל-4 ושלילי מימין) הוא \textbf{גרף I}. \\ \textbf{(2) חישוב השטח:} \\ השטח הנדרש נמצא בתחום $1 \le x \le 3$, שם הנגזרת חיובית (מעל ציר $x$). $$ S = \int_{1}^{3} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{1}^{3} = f(3) - f(1) $$ $$ f(3) = \frac{1}{(3-4)^2} = 1, \quad f(1) = \frac{1}{(1-4)^2} = \frac{1}{9} $$ $$ S = 1 - \frac{1}{9} = \mathbf{\frac{8}{9}} $$ \item \textbf{השטח של $g(x)$:} \\ נתון $g(x) = f'(x) + 3$. השטח של $g(x)$ באותו התחום יהיה: $$ \int_{1}^{3} (f'(x) + 3) \,dx = \int_{1}^{3} f'(x) \,dx + \int_{1}^{3} 3 \,dx $$ החלק הראשון הוא בדיוק השטח שחישבנו קודם ($\frac{8}{9}$). \\ התוספת היא שטח של מלבן בגובה 3 ורוחב 2 (מ-1 עד 3), שהוא $\int_{1}^{3} 3 \,dx = 3 \cdot (3 - 1) = 6$. \\ לכן, \textbf{השטח גדול בדיוק ב-6}. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 2 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 2} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}}$, המוגדרת לכל $x \neq 0$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). \\ (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} נתונה פונקציה $g(x)$ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \\ נגזרת הפונקציה $g(x)$ מקיימת: $\textcolor{winered}{\displaystyle g'(x) = f(x) - 2.5}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item מצאו את שיעורי ה־$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$, וקבעו את סוגן. נמקו את קביעתכם. \item מהו מספר נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הישר $y=k$, בעבור הערכים של $k$ שמצאתם בסעיף ג' (ערכי ה־$x$ של נקודות הקיצון)? \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 2 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 2} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{(1) אסימפטוטות:} \\ תחום ההגדרה הוא $x \neq 0$. נבדוק אסימפטוטה אנכית ב־$x=0$: המכנה מתאפס והמונה לא, לכן $\mathbf{x=0}$ היא אסימפטוטה אנכית. \\ אסימפטוטה אופקית: חזקת המונה (2) גדולה מחזקת המכנה (1), ולכן \textbf{אין אסימפטוטה אופקית}. \\ \textbf{(2) נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ f'(x) = \frac{2x \cdot x - 1 \cdot (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} $$ נשווה לאפס: $x^2 - 1 = 0 \implies x = 1, x = -1$. \\ נמצא את שיעורי ה־$y$: $$ f(1) = \frac{1+1}{1} = 2, \quad f(-1) = \frac{1+1}{-1} = -2 $$ נבדוק סוג בעזרת נגזרת שנייה של המונה (או טבלה): $y''_{mona} = 2x$. \\ עבור $x=1$, נקבל $2>0$ ולכן $\mathbf{(1, 2)}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. \\ עבור $x=-1$, נקבל $-2<0$ ולכן $\mathbf{(-1, -2)}$ היא נקודת \textbf{מקסימום}. \item \textbf{סקיצה:} (שתי שלוחות, האחת ברביע הראשון מקבלת מינימום ב־(1,2), השנייה ברביע השלישי מקבלת מקסימום ב־(-1,-2). האסימפטוטה היא ציר $y$). \item \textbf{נקודות קיצון של $g(x)$:} \\ נתון ש־$g'(x) = f(x) - 2.5$. כדי למצוא קיצון נשווה נגזרת לאפס: $$ g'(x) = 0 \implies f(x) - 2.5 = 0 \implies f(x) = 2.5 $$ $$ \frac{x^2 + 1}{x} = 2.5 \implies x^2 + 1 = 2.5x \implies x^2 - 2.5x + 1 = 0 $$ נפתור את המשוואה הריבועית: $$ x_{1,2} = \frac{2.5 \pm \sqrt{6.25 - 4}}{2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2} $$ $$ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2} = 0.5 $$ לקביעת הסוג, נבדוק את סימן הנגזרת השנייה של $g(x)$: $$ g''(x) = f'(x) $$ נציב את הערכים בנגזרת של $f$ שמצאנו בסעיף א': $$ g''(2) = f'(2) = \frac{2^2 - 1}{2^2} = \frac{3}{4} > 0 \implies \mathbf{x=2} \text{ היא נקודת \textbf{מינימום}.} $$ $$ g''(0.5) = f'(0.5) = \frac{0.5^2 - 1}{0.5^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \implies \mathbf{x=0.5} \text{ היא נקודת \textbf{מקסימום}.} $$ \item \textbf{מספר נקודות חיתוך עם $y=k$:} \\ בסעיף הקודם מצאנו שני ערכי $x$: $x=2$ ו־$x=0.5$. \\ ערכי ה־$k$ המבוקשים הם בעצם $k=2$ ו־$k=0.5$. נבדוק בסקיצה של $f(x)$ בכמה נקודות חותך הישר כל אחד מערכים אלו: \\ עבור $k=0.5$: הישר $y=0.5$ עובר מתחת לנקודת המינימום $(1,2)$ ומעל למקסימום $(-1,-2)$. בתחום זה אין לפונקציה $f(x)$ גרף בכלל. לכן חותך ב־\textbf{0 נקודות}. \\ עבור $k=2$: הישר $y=2$ משיק בדיוק לנקודת המינימום של הפונקציה. לכן הוא חותך אותה בדיוק ב־\textbf{נקודה 1}. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 3 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 3} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 - 9} + 1}$, המוגדרת לכל $x \neq \pm 3$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה $f(x)$. \item (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \\ (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item קבעו איזה מן הגרפים IV-I שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. נמקו את קביעתכם. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$ ועל ידי הישרים $x=4$ ו־$x=5$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tabular}{cc} % Graph I \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-6:-3.3, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-9)^2)*20}; \addplot[domain=-2.7:2.7, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-9)^2)*20}; \addplot[domain=3.3:6, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-9)^2)*20}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-3,-5) -- (axis cs:-3,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:3,-5) -- (axis cs:3,5); \end{axis} \node at (2,-1) {\textbf{I}}; \end{tikzpicture} & % Graph II \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-6:-3.3, samples=50, thick, winered] {x/((x^2-9)^2)*20}; \addplot[domain=-2.7:2.7, samples=50, thick, winered] {x/((x^2-9)^2)*20}; \addplot[domain=3.3:6, samples=50, thick, winered] {x/((x^2-9)^2)*20}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-3,-5) -- (axis cs:-3,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:3,-5) -- (axis cs:3,5); \end{axis} \node at (2,-1) {\textbf{II}}; \end{tikzpicture} \\ % Graph III \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-6:6, samples=100, thick, winered] {x/(x^2+9)*5}; \end{axis} \node at (2,-1) {\textbf{III}}; \end{tikzpicture} & % Graph IV \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-6, xmax=6, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-6:-3.3, samples=50, thick, winered] {1/(x^2-9)}; \addplot[domain=-2.7:2.7, samples=50, thick, winered] {1/(x^2-9)}; \addplot[domain=3.3:6, samples=50, thick, winered] {1/(x^2-9)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-3,-5) -- (axis cs:-3,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:3,-5) -- (axis cs:3,5); \end{axis} \node at (2,-1) {\textbf{IV}}; \end{tikzpicture} \end{tabular} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \newpage % ========================================== % פתרון 3 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 3} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{אסימפטוטה אופקית:} \\ נבדוק את הפונקציה באינסוף. השבר $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 9}$ שואף ל־1 (יחס המקדמים המובילים הוא $\frac{1}{1}$). \\ לכן הפונקציה כולה שואפת ל־$1 + 1 = 2$. \\ אסימפטוטה אופקית: $\mathbf{y = 2}$. \item \textbf{(1) נקודות חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): $\displaystyle f(0) = \frac{-16}{-9} + 1 = \frac{16}{9} + 1 = 2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$. הנקודה: $\mathbf{(0, 2\frac{7}{9})}$. \\ חיתוך עם ציר $x$ ($y=0$): $$ \frac{x^2 - 16}{x^2 - 9} + 1 = 0 \implies \frac{x^2 - 16}{x^2 - 9} = -1 \implies x^2 - 16 = -x^2 + 9 $$ $$ 2x^2 = 25 \implies x^2 = 12.5 \implies x = \pm\sqrt{12.5} \approx \pm 3.535 $$ הנקודות: $\mathbf{(\sqrt{12.5}, 0), (-\sqrt{12.5}, 0)}$. \\ \textbf{(2) נקודת קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה (הנגזרת של ה-1 היא 0): $$ f'(x) = \frac{2x(x^2 - 9) - 2x(x^2 - 16)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 + 32x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{14x}{(x^2 - 9)^2} $$ נשווה לאפס: $\displaystyle 14x = 0 \implies x = 0$. \\ שיעור ה־$y$ מצאנו קודם: $y = 2\frac{7}{9}$. \\ סוג הקיצון: המכנה של הנגזרת תמיד חיובי. נבדוק סימן לפי המונה $14x$. עבור $x<0$ הנגזרת שלילית (ירידה), עבור $x>0$ חיובית (עלייה). \\ לכן, הנקודה $\mathbf{(0, 2\frac{7}{9})}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. \item \textbf{סקיצה:} אסימפטוטות אנכיות ב־$x=\pm 3$. אסימפטוטה אופקית $y=2$. הפונקציה חותכת את ציר $x$ ב־$\pm 3.535$. בראשית יש מינימום ב־$y=2.77$ (שהוא מעל האסימפטוטה האופקית). \item \textbf{זיהוי גרף הנגזרת:} \\ ראינו שהנגזרת היא $\displaystyle f'(x) = \frac{14x}{(x^2 - 9)^2}$. לנגזרת יש אסימפטוטות ב־$x=\pm 3$. היא מתאפסת רק ב־$x=0$. \\ הסימן שלה נקבע על פי $14x$, כלומר היא חיובית עבור $x>0$ ושלילית עבור $x<0$. \\ הגרף היחיד מבין הארבעה שיש לו אסימפטוטות ב־$\pm 3$, והוא שלילי משמאל ל־0 וחיובי מימין ל־0 הוא \textbf{גרף II}. \item \textbf{חישוב השטח:} \\ התחום המבוקש הוא בין $x=4$ ל־$x=5$. בתחום זה, הנגזרת $f'(x)$ חיובית (גרף הנגזרת מעל ציר ה־$x$). $$ S = \int_{4}^{5} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{4}^{5} = f(5) - f(4) $$ נחשב את ערכי הפונקציה: $$ f(5) = \frac{5^2 - 16}{5^2 - 9} + 1 = \frac{9}{16} + 1 = 1\frac{9}{16} = \frac{25}{16} $$ $$ f(4) = \frac{4^2 - 16}{4^2 - 9} + 1 = 0 + 1 = 1 $$ $$ S = \frac{25}{16} - 1 = \mathbf{\frac{9}{16}} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 4 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 4} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{18x}{(x+3)^2}}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \\ (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$. \\ (3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \\ (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} הישר $y = k$ וגרף הפונקציה $f(x)$ נפגשים בנקודה אחת בדיוק. $k \ge 0$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item מצאו את הערכים האפשריים של $k$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle g(x) = f(x) - 1.5}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4] \item (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$. \\ (2) כמה נקודות משותפות יש לישר $y=0$ ולגרף הפונקציה $g(x)$? נמקו את תשובתכם בהסתמך על הסעיפים הקודמים. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 4 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 4} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{(1) תחום הגדרה:} \\ המכנה אינו יכול להיות אפס: $(x+3)^2 \neq 0 \implies \mathbf{x \neq -3}$. \\ \textbf{(2) אסימפטוטות:} \\ אסימפטוטה אנכית: $\mathbf{x = -3}$. \\ אסימפטוטה אופקית: חזקת המכנה (2) גדולה מחזקת המונה (1), לכן $\mathbf{y = 0}$. \\ \textbf{(3) נקודת חיתוך:} \\ הצבת $x=0$ נותנת $y=0$. הצבת $y=0$ נותנת $18x=0 \implies x=0$. \\ הנקודה היא $\mathbf{(0,0)}$. \\ \textbf{(4) נקודת קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ f'(x) = \frac{18 \cdot (x+3)^2 - 18x \cdot 2(x+3)}{(x+3)^4} $$ נוציא גורם משותף במונה $18(x+3)$: $$ f'(x) = \frac{18(x+3) [ (x+3) - 2x ]}{(x+3)^4} = \frac{18(3 - x)}{(x+3)^3} $$ נשווה לאפס: $3 - x = 0 \implies x = 3$. \\ שיעור ה־$y$: $\displaystyle f(3) = \frac{18 \cdot 3}{(3+3)^2} = \frac{54}{36} = 1.5$. \\ סוג הקיצון: עבור $x=0$, $f'(0) = \frac{54}{27} > 0$ (עלייה). עבור $x=4$, $f'(4) = \frac{-18}{343} < 0$ (ירידה). \\ לכן, $\mathbf{(3, 1.5)}$ היא נקודת \textbf{מקסימום}. \item \textbf{סקיצה:} בצד שמאל של האסימפטוטה ($x<-3$) הפונקציה שלילית ויורדת. בצד ימין היא עוברת דרך $(0,0)$, מגיעה למקסימום ב־$(3, 1.5)$, ואז יורדת ומתקרבת ל־$y=0$. \item \textbf{ערכי $k$:} \\ אנו מחפשים חיתוך יחיד עם ישר אופקי $y=k$ (ונתון $k \ge 0$). \\ מהסקיצה: - הישר $y=1.5$ משיק לפונקציה בנקודת המקסימום, לכן ישנה \textbf{נקודת חיתוך אחת}. ($k=1.5$). \\ - הישר $y=0$ (ציר ה־$x$) חותך את הפונקציה רק בראשית הצירים (כאשר $x \to \infty$ הוא מהווה אסימפטוטה ולא חותך שוב). לכן ישנה \textbf{נקודת חיתוך אחת}. ($k=0$). \\ כל ערך בין 0 ל-1.5 יחתוך את הפונקציה פעמיים. תשובה: $\mathbf{k=1.5, k=0}$. \item \textbf{הפונקציה $g(x)$:} \\ \textbf{(1) אסימפטוטות של $g(x)$:} \\ הפונקציה $g(x)$ מתקבלת מהורדת $f(x)$ ב־1.5 יחידות כלפי מטה. \\ האסימפטוטה האנכית לא משתנה: $\mathbf{x = -3}$. \\ האסימפטוטה האופקית יורדת ב־1.5 יחידות: $\mathbf{y = -1.5}$. \\ \textbf{(2) נקודות חיתוך עם $y=0$:} \\ אנו מחפשים פתרון למשוואה $g(x) = 0 \implies f(x) - 1.5 = 0 \implies f(x) = 1.5$. \\ בסעיף ג' ראינו כי לישר $y=1.5$ יש בדיוק \textbf{נקודת חיתוך אחת} עם $f(x)$ (נקודת המקסימום). לכן ל־$g(x)$ יש רק נקודת חיתוך אחת עם הישר $y=0$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 5 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 5} \\[0.2cm] הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq \pm 1$. \\ בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, המוגדרת באותו התחום. \\ גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה־$x$ רק בנקודה $(0,0)$. \vspace{0.2cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-4, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$f'(x)$}] \addplot[domain=-4:-1.2, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-1)^2)*3}; \addplot[domain=-0.8:0.8, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-1)^2)*3}; \addplot[domain=1.2:4, samples=50, thick, winered] {-x/((x^2-1)^2)*3}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-1,-5) -- (axis cs:-1,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:1,-5) -- (axis cs:1,5); \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את שיעור ה־$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y=3$, וכן נתון כי $f(0)=2$. \\ אחד מן הביטויים III-I שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$. $$ \mathbf{I.} \quad \textcolor{winered}{\frac{x^2}{x^2-1} + 2} \qquad \mathbf{II.} \quad \textcolor{winered}{\frac{x^2}{x^2+1} + 2} \qquad \mathbf{III.} \quad \textcolor{winered}{\frac{2x^2}{x^2-1} + 1} $$ \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3] \item קבעו איזה מן הביטויים III-I מייצג את הפונקציה $f(x)$. נמקו את קביעתכם. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$, ועל ידי הישרים $x=2$ ו־$x=3$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 5 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 5} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{נקודת קיצון:} \\ פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מתאפסת רק כאשר $x=0$. \\ מהסרטוט ניתן לראות שעבור $x<0$ הנגזרת חיובית (גרף הנגזרת מעל ציר $x$), ועבור $x>0$ הנגזרת שלילית (גרף הנגזרת מתחת לציר $x$). \\ מעבר מעלייה (חיובי) לירידה (שלילי) מעיד על \textbf{נקודת מקסימום}. \\ שיעור ה־$x$ הוא $\mathbf{x=0}$, וסוגה \textbf{מקסימום}. \item \textbf{תחומי עלייה וירידה:} \\ עלייה כאשר $f'(x) > 0$. לפי הגרף (תוך התחשבות באסימפטוטות): $\mathbf{x < -1}$ או $\mathbf{-1 < x < 0}$. \\ ירידה כאשר $f'(x) < 0$. לפי הגרף: $\mathbf{0 < x < 1}$ או $\mathbf{x > 1}$. \item \textbf{זיהוי הפונקציה $f(x)$:} \\ נבדוק כל אחד מהתנאים הנתונים (אסימפטוטה ב־$y=3$ ונקודה $f(0)=2$): \\ ביטוי I: האסימפטוטה האופקית היא $1+2=3$. נציב $x=0$: $\frac{0}{-1}+2 = 2$. מתאים לכל התנאים. \\ ביטוי II: המכנה תמיד חיובי ($x^2+1$), ולכן אין אסימפטוטות אנכיות כלל. זה סותר את הנתון שתחום ההגדרה הוא $x \neq \pm 1$. אינו מתאים. \\ ביטוי III: האסימפטוטה האופקית היא $2+1=3$. נציב $x=0$: $\frac{0}{-1}+1 = 1$. סותר את הנתון ש־$f(0)=2$. אינו מתאים. \\ לכן, \textbf{ביטוי I} הוא המייצג את הפונקציה. \item \textbf{נקודות חיתוך עם הצירים:} \\ הפונקציה היא $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2-1} + 2 = \frac{3x^2 - 2}{x^2-1}}$. \\ חיתוך עם ציר $y$ נתון: $\mathbf{(0, 2)}$. \\ חיתוך עם ציר $x$ ($y=0$): $$ \frac{3x^2 - 2}{x^2-1} = 0 \implies 3x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \approx \pm 0.816 $$ הנקודות הן: $\mathbf{(\sqrt{\frac{2}{3}}, 0), (-\sqrt{\frac{2}{3}}, 0)}$. \item \textbf{סקיצה:} אסימפטוטות ב־$x=\pm 1$ ו־$y=3$. נקודת מקסימום מקומית ב־(0,2). הפונקציה עולה מימין ומשמאל לאסימפטוטות ושואפת ל-3. \item \textbf{חישוב השטח:} \\ התחום המבוקש הוא מ־$x=2$ ועד $x=3$. בתחום זה, הנגזרת $f'(x)$ שלילית (מתחת לציר $x$). $$ S = \int_{2}^{3} -f'(x) \,dx = -\Big[ f(x) \Big]_{2}^{3} = f(2) - f(3) $$ נחשב את ערכי הפונקציה $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1} + 2$: $$ f(2) = \frac{4}{4-1} + 2 = \frac{4}{3} + 2 = 3\frac{1}{3} $$ $$ f(3) = \frac{9}{9-1} + 2 = \frac{9}{8} + 2 = 3\frac{1}{8} $$ $$ S = 3\frac{1}{3} - 3\frac{1}{8} = \frac{10}{3} - \frac{25}{8} = \frac{80 - 75}{24} = \mathbf{\frac{5}{24}} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 6 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 6} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4x + a}{x-1}}$, המוגדרת בתחום $x \neq 1$. \\ $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה יש נקודת מינימום בנקודה שבה $x=3$. \vspace{0.2cm} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את הערך של $a$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} הציבו $a=7$ וענו על הסעיפים ב-ה. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2] \item (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה $f(x)$. \\ (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה). \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$ ועל ידי הישרים $x=4$ ו־$x=5$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 6 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 6} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{מציאת הערך של $a$:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ \textcolor{winered}{f'(x) = \frac{(2x-4)(x-1) - 1(x^2 - 4x + a)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 4x + 4 - x^2 + 4x - a}{(x-1)^2}} $$ $$ \textcolor{winered}{f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4 - a}{(x-1)^2}} $$ נתון קיצון ב־$x=3$, נשווה את מונה הנגזרת לאפס: $$ 3^2 - 2(3) + 4 - a = 0 \implies 9 - 6 + 4 - a = 0 \implies 7 - a = 0 \implies \mathbf{a = 7} $$ \item \textbf{חקירת הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4x + 7}{x-1}}$:} \\ \textbf{(1) אסימפטוטה אנכית:} המכנה מתאפס ב־$\mathbf{x = 1}$ (והמונה לא מתאפס בנקודה זו). \\ \textbf{(2) חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): $\displaystyle f(0) = \frac{7}{-1} = -7$. הנקודה: $\mathbf{(0, -7)}$. \\ חיתוך עם ציר $x$ ($y=0$): $x^2 - 4x + 7 = 0$. למשוואה זו אין פתרון ($\Delta = 16 - 28 < 0$), ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ הנגזרת היא $\textcolor{winered}{\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}}$. נשווה את המונה לאפס: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x=3, x=-1 $$ נמצא את שיעורי ה־$y$: $$ f(3) = \frac{9 - 12 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ f(-1) = \frac{1 + 4 + 7}{-2} = \frac{12}{-2} = -6 $$ נקבע את הסוג לפי פרבולה של המונה (צוחקת): הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב־$x=-1$ (מקסימום) ומשלילית לחיובית ב־$x=3$ (מינימום). \\ הנקודות: $\mathbf{(3, 2)}$ \textbf{מינימום}, $\mathbf{(-1, -6)}$ \textbf{מקסימום}. \item \textbf{סקיצה:} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \begin{axis}[axis lines=center, xmin=-4, xmax=6, ymin=-10, ymax=6, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4:0.6, samples=100, thick, winered] {(x^2 - 4*x + 7)/(x - 1)}; \addplot[domain=1.5:6, samples=100, thick, winered] {(x^2 - 4*x + 7)/(x - 1)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:1,-10) -- (axis cs:1,6); \addplot[mark=*, winered] coordinates {(3,2) (-1,-6)}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \item \textbf{חישוב השטח:} \\ השטח נמצא בתחום $x=4$ עד $x=5$. בתחום זה, הנגזרת חיובית (הפונקציה עולה אחרי המינימום ב־3). $$ S = \int_{4}^{5} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{4}^{5} = f(5) - f(4) $$ $$ f(5) = \frac{25 - 20 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 $$ $$ f(4) = \frac{16 - 16 + 7}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $$ $$ S = 3 - 2\frac{1}{3} = \mathbf{\frac{2}{3}} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 7 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 7} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x) = (x-2)\sqrt{x+1}}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ (כולל נקודות קצה), וקבעו את סוגן. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. \item נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{g(x) = f(x) - k}$, כאשר $k$ הוא פרמטר. מצאו לאילו ערכים של $k$ גרף הפונקציה $g(x)$ חותך את ציר ה־$x$ בשתי נקודות בדיוק. נמקו. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 7 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 7} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: $x + 1 \ge 0 \implies \mathbf{x \ge -1}$. \item \textbf{נקודות חיתוך עם הצירים:} \\ עם ציר $y$ ($x=0$): $f(0) = (0-2)\sqrt{0+1} = -2$. הנקודה: $\mathbf{(0, -2)}$. \\ עם ציר $x$ ($y=0$): $(x-2)\sqrt{x+1} = 0 \implies x=2, x=-1$. הנקודות: $\mathbf{(2, 0), (-1, 0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור כמכפלה: $$ \textcolor{winered}{f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x+1} + (x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) + x - 2}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x}{2\sqrt{x+1}}} $$ נשווה את המונה לאפס: $3x = 0 \implies x = 0$. \\ שיעור ה־$y$: ראינו ש־$f(0) = -2$. \\ נבדוק סוג (המונה $3x$ עובר משלילי לחיובי): זוהי נקודת \textbf{מינימום}. הנקודה היא $\mathbf{(0, -2)}$. \\ נקודת קצה התחום $x=-1$. הפונקציה יורדת ממנה למינימום ולכן $\mathbf{(-1, 0)}$ היא \textbf{מקסימום קצה}. \item \textbf{סקיצה:} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[axis lines=center, xmin=-1.5, xmax=4, ymin=-3, ymax=3, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-1:3.5, samples=100, thick, winered] {(x-2)*sqrt(x+1)}; \addplot[mark=*, winered] coordinates {(0,-2) (-1,0) (2,0)}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \item \textbf{נקודות חיתוך של $g(x)$:} \\ הפונקציה $g(x) = f(x) - k$ מתאפסת כאשר $f(x) = k$. כלומר, עלינו לבדוק מתי הישר $y=k$ חותך את הגרף בשתי נקודות. \\ מתוך הסקיצה ניתן לראות כי ישר אופקי יחתוך פעמיים אם הוא יעבור בין נקודת המינימום (שם $y=-2$) לבין נקודת קצה התחום (שם $y=0$, ומימין לה הפונקציה ממשיכה לעלות). ב־$y=0$ הוא גם חותך בשתי נקודות בדיוק ($(-1,0)$ ו־$(2,0)$). \\ לכן הערכים הם: $\mathbf{-2 < k \le 0}$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 8 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 8} \\[0.2cm] בסרטוט שלפניכם מוצג גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$. \\ לפונקציה $f'(x)$ יש אסימפטוטות אנכיות בישרים $x = 2$ ו־$x = -2$. \\ גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ בראשית הצירים $(0,0)$ בלבד. \vspace{0.2cm} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \begin{axis}[ticks=none, axis lines=center, xmin=-4, xmax=4, ymin=-5, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$f'(x)$}] \addplot[domain=-3.5:-2.2, samples=50, thick, winered] {-4*x/((x^2-4)^2)}; \addplot[domain=-1.8:1.8, samples=50, thick, winered] {-4*x/((x^2-4)^2)}; \addplot[domain=2.2:3.5, samples=50, thick, winered] {-4*x/((x^2-4)^2)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-2,-5) -- (axis cs:-2,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:2,-5) -- (axis cs:2,5); \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \vspace{0.2cm} נתון כי הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x \neq \pm 2$, וכי נתון שהיא מקיימת $f(0) = 3$. כמו כן יש לה אסימפטוטה אופקית $y=3.5$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את שיעור ה־$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה על פי הגרף. \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$. \item אחד מן הביטויים III-I שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם בהתבסס על הנתונים. $$ \mathbf{I.} \quad \textcolor{winered}{\frac{2}{x^2-4} + 3.5} \qquad \mathbf{II.} \quad \textcolor{winered}{\frac{2}{x^2+4} + 2.5} \qquad \mathbf{III.} \quad \textcolor{winered}{\frac{-2}{x^2-4} + 2.5} $$ \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, על ידי ציר ה־$x$, ועל ידי הישרים $x=3$ ו־$x=4$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 8 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 8} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{נקודת הקיצון של $f(x)$:} \\ גרף הנגזרת מתאפס רק ב־$x=0$. הנגזרת חיובית עבור $x<0$ ושלילית עבור $x>0$ (מעבר מעלייה לירידה). \\ לכן ב־$\mathbf{x=0}$ יש לפונקציה נקודת \textbf{מקסימום}. \item \textbf{תחומי עלייה וירידה:} \\ עלייה כאשר $f'(x) > 0$, כלומר: $\mathbf{x < -2}$ או $\mathbf{-2 < x < 0}$. \\ ירידה כאשר $f'(x) < 0$, כלומר: $\mathbf{0 < x < 2}$ או $\mathbf{x > 2}$. \item \textbf{זיהוי הפונקציה $f(x)$:} \\ נבדוק את הנתונים על 3 הביטויים: אסימפטוטה $y=3.5$, נקודה $(0,3)$, ואסימפטוטות אנכיות $x=\pm 2$. \\ - \textbf{ביטוי I:} $\textcolor{winered}{\frac{2}{x^2-4} + 3.5}$. מקיים אסימפטוטות אנכיות ב־$\pm 2$. מקיים אופקית ב־$3.5$. עבור $x=0$: $\frac{2}{-4} + 3.5 = -0.5 + 3.5 = 3$. מקיים הכל. \\ - \textbf{ביטוי II:} מכנה אינו מתאפס, אין אסימפטוטות אנכיות. נפסל. \\ - \textbf{ביטוי III:} אסימפטוטה אופקית $y=2.5$ ולא $3.5$. נפסל. \\ לכן הביטוי המתאים הוא \textbf{ביטוי I}. \item \textbf{חישוב השטח:} \\ התחום המבוקש הוא $3 \le x \le 4$. מהגרף רואים שבתחום זה $f'(x) < 0$ (מתחת לציר ה־$x$). \\ השטח הוא: $$ S = \int_{3}^{4} -f'(x) \,dx = -\Big[ f(x) \Big]_{3}^{4} = f(3) - f(4) $$ נחשב בעזרת הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x) = \frac{2}{x^2-4} + 3.5}$: $$ f(3) = \frac{2}{9-4} + 3.5 = \frac{2}{5} + 3.5 = 0.4 + 3.5 = 3.9 $$ $$ f(4) = \frac{2}{16-4} + 3.5 = \frac{2}{12} + 3.5 = \frac{1}{6} + 3.5 = 3\frac{2}{3} $$ $$ S = 3.9 - 3\frac{2}{3} = \frac{39}{10} - \frac{11}{3} = \frac{117 - 110}{30} = \mathbf{\frac{7}{30}} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 9 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 9} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 1}}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$. \item מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$ המאונכות לצירים. \item מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$ עם הצירים. \item מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$, וקבעו את סוגה. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $\textcolor{winered}{f'(x)}$, על ידי ציר ה־$x$, ועל ידי הישרים $x=2$ ו־$x=3$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 9 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 9} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ המכנה אינו יכול להיות אפס: $x^2 - 1 \neq 0 \implies \mathbf{x \neq \pm 1}$. \item \textbf{אסימפטוטות:} \\ אסימפטוטות אנכיות (מאפסות מכנה אך לא מונה): $\mathbf{x = 1, x = -1}$. \\ אסימפטוטה אופקית (חזקות שוות במונה ובמכנה, נחלק מקדמים): $\displaystyle y = \frac{2}{1} \implies \mathbf{y = 2}$. \item \textbf{נקודות חיתוך עם הצירים:} \\ חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $\displaystyle f(0) = \frac{-8}{-1} = 8$. הנקודה: $\mathbf{(0, 8)}$. \\ חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $\displaystyle 2x^2 - 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. \\ הנקודות הן: $\mathbf{(2, 0), (-2, 0)}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה בעזרת נגזרת מנה: $$ \textcolor{winered}{f'(x) = \frac{4x(x^2-1) - 2x(2x^2-8)}{(x^2-1)^2} = \frac{4x^3 - 4x - 4x^3 + 16x}{(x^2-1)^2} = \frac{12x}{(x^2-1)^2}} $$ נשווה את המונה לאפס: $12x = 0 \implies x = 0$. \\ שיעור ה־$y$ מצאנו קודם: $y = 8$. \\ נקבע את סוג הקיצון: המכנה חיובי תמיד. סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה $12x$. \\ עבור $x < 0$ הנגזרת שלילית (הפונקציה יורדת), ועבור $x > 0$ הנגזרת חיובית (הפונקציה עולה). \\ לכן, $\mathbf{(0, 8)}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. \item \textbf{סקיצה:} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \begin{axis}[axis lines=center, xmin=-5, xmax=5, ymin=-8, ymax=15, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-5:-1.15, samples=100, thick, winered] {(2*x^2 - 8)/(x^2 - 1)}; \addplot[domain=-0.85:0.85, samples=100, thick, winered] {(2*x^2 - 8)/(x^2 - 1)}; \addplot[domain=1.15:5, samples=100, thick, winered] {(2*x^2 - 8)/(x^2 - 1)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:-1,-8) -- (axis cs:-1,15); \draw[dashed, thick] (axis cs:1,-8) -- (axis cs:1,15); \draw[dashed, thick] (axis cs:-5,2) -- (axis cs:5,2); \addplot[mark=*, winered] coordinates {(0,8) (2,0) (-2,0)}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \item \textbf{חישוב השטח:} \\ התחום המבוקש הוא מ־$x=2$ ועד $x=3$. בתחום זה (כאשר $x > 1$), הנגזרת $\textcolor{winered}{f'(x)}$ חיובית, כלומר הגרף שלה נמצא מעל ציר ה־$x$. $$ S = \int_{2}^{3} f'(x) \,dx = \Big[ f(x) \Big]_{2}^{3} = f(3) - f(2) $$ נחשב את ערכי הפונקציה: $$ f(3) = \frac{2(9) - 8}{9 - 1} = \frac{18 - 8}{8} = \frac{10}{8} = 1.25 $$ $$ f(2) = 0 \quad (\text{מצאנו בסעיף חיתוך צירים}) $$ $$ S = 1.25 - 0 = \mathbf{1.25} $$ \end{enumerate} \newpage % ========================================== % תרגיל 10 % ========================================== \noindent \textbf{תרגיל 10} \\[0.2cm] נתונה הפונקציה $\textcolor{winered}{\displaystyle f(x) = \frac{4x^2}{(x-3)^2}}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$. \item מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$ המאונכות לצירים. \item מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$, וקבעו את סוגה. \item מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $\textcolor{winered}{f(x)}$. \item חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $\textcolor{winered}{f'(x)}$, על ידי ציר ה־$x$ ועל ידי הישרים $x=4$ ו־$x=5$. \end{enumerate} \newpage % ========================================== % פתרון 10 % ========================================== \section*{פתרון תרגיל 10} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item \textbf{תחום הגדרה:} \\ המכנה אינו יכול להיות אפס: $(x-3)^2 \neq 0 \implies \mathbf{x \neq 3}$. \item \textbf{אסימפטוטות:} \\ אסימפטוטה אנכית מאפסת מכנה: $\mathbf{x = 3}$. \\ אסימפטוטה אופקית (נפתח את המכנה $x^2-6x+9$, חזקות שוות במונה ובמכנה): $\displaystyle y = \frac{4}{1} \implies \mathbf{y = 4}$. \item \textbf{נקודות קיצון:} \\ נגזור את הפונקציה: $$ \textcolor{winered}{f'(x) = \frac{8x(x-3)^2 - 4x^2 \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4}} $$ נוציא גורם משותף במונה $8x(x-3)$: $$ \textcolor{winered}{f'(x) = \frac{8x(x-3) [ (x-3) - x ]}{(x-3)^4} = \frac{8x [ -3 ]}{(x-3)^3} = \frac{-24x}{(x-3)^3}} $$ נשווה לאפס: $-24x = 0 \implies x = 0$. \\ נמצא את שיעור ה־$y$: $\displaystyle f(0) = \frac{0}{(-3)^2} = 0$. \\ נבדוק סוג קיצון בעזרת טבלה: עבור $x < 0$ (למשל $x=-1$), המונה חיובי והמכנה שלילי $\implies f'(x) < 0$ (ירידה). \\ עבור $0 < x < 3$ (למשל $x=1$), המונה שלילי והמכנה שלילי $\implies f'(x) > 0$ (עלייה). \\ עבור $x > 3$ (למשל $x=4$), המונה שלילי והמכנה חיובי $\implies f'(x) < 0$ (ירידה). \\ הפונקציה יורדת ל־0 ואז עולה, ולכן $\mathbf{(0, 0)}$ היא נקודת \textbf{מינימום}. \item \textbf{תחומי עלייה וירידה:} \\ על פי הבדיקה בסעיף הקודם: \\ \textbf{תחום עלייה:} $\mathbf{0 < x < 3}$. \\ \textbf{תחומי ירידה:} $\mathbf{x < 0}$ או $\mathbf{x > 3}$. \item \textbf{סקיצה:} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \begin{axis}[axis lines=center, xmin=-4, xmax=10, ymin=-2, ymax=18, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}] \addplot[domain=-4:2.5, samples=100, thick, winered] {(4*x^2)/((x-3)^2)}; \addplot[domain=3.6:10, samples=100, thick, winered] {(4*x^2)/((x-3)^2)}; \draw[dashed, thick] (axis cs:3,-2) -- (axis cs:3,18); \draw[dashed, thick] (axis cs:-4,4) -- (axis cs:10,4); \addplot[mark=*, winered] coordinates {(0,0)}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \item \textbf{חישוב השטח:} \\ בתחום $x=4$ עד $x=5$ (כלומר $x > 3$), הנגזרת $\textcolor{winered}{f'(x)}$ שלילית, והגרף שלה נמצא מתחת לציר ה־$x$. $$ S = \int_{4}^{5} -f'(x) \,dx = -\Big[ f(x) \Big]_{4}^{5} = f(4) - f(5) $$ נחשב את ערכי הפונקציה: $$ f(4) = \frac{4(4^2)}{(4-3)^2} = \frac{64}{1} = 64 $$ $$ f(5) = \frac{4(5^2)}{(5-3)^2} = \frac{100}{4} = 25 $$ $$ S = 64 - 25 = \mathbf{39} $$ \end{enumerate} \end{document}

חקירת פונקציית מנה