\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- חבילות בסיסיות --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2.5cm, bottom=3.5cm, top=2.5cm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage{tikz} \usepackage{enumitem} % --- הגדרות שפה (עברית) --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} % --- הגדרת כותרת תחתונה (זכויות יוצרים) --- \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \cfoot{\footnotesize כל הזכויות שמורות ל-גיא קורן, אין להעתיק, לפרסם, את המסמך הזה או חלק ממנו ללא אישור בכתב.} \lfoot{\thepage} % --- הגדרת ריווח 1.5 בין שורות --- \linespread{1.5} \begin{document} \begin{center} \LARGE \textbf{5 יח"ל - שאלון 35572 - חורף תשפ"ה, 2025} \\[0.2cm] \large \textbf{שאלות ופתרונות מלאים} \end{center} \vspace{1cm} % ========================================== % תרגיל מספר 1 % ========================================== \section*{שאלה $1$} נתונות הנקודות $A(-9a,0)$ ו- $B(41a,0)$. $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB = 90^\circ$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות $a$. \end{enumerate} נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש $APB$ הוא $156.25$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $a$. \end{enumerate} הציבו $a=\frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג'-ד'. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את שיעורי הנקודה $C$. \end{enumerate} הישר $l$ משיק לפרבולה בנקודה $C$. מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר $l$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את המרחק בין הישר $l$ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות). \end{enumerate} \newpage \subsection*{פתרון תרגיל 1} \textbf{א.} זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. לכן, המקום הגאומטרי של הנקודות $P$ הוא מעגל שהקטע $AB$ הוא קוטרו. נמצא את מרכז המעגל $M$, שהוא אמצע הקטע $AB$: \[ x_M = \frac{-9a + 41a}{2} = \frac{32a}{2} = 16a \quad \Rightarrow \quad M(16a, 0) \] נמצא את רדיוס המעגל $R$, שהוא מחצית מאורך הקטע $AB$: \[ R = \frac{41a - (-9a)}{2} = \frac{50a}{2} = 25a \] משוואת המעגל היא: \[ (x - 16a)^2 + y^2 = (25a)^2 \quad \Rightarrow \quad (x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2 \] \textbf{ב.} שטח המשולש $APB$ הוא $S = \frac{AB \cdot h}{2}$. הבסיס $AB$ קבוע ואורכו $50a$. השטח מקסימלי כאשר הגובה $h$ מקסימלי. הגובה המקסימלי של נקודה על המעגל מציר ה-$x$ שווה לרדיוס המעגל $R = 25a$. \[ S_{\text{max}} = \frac{50a \cdot 25a}{2} = 625a^2 \] נשווה לנתון: \[ 625a^2 = 156.25 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{156.25}{625} = 0.25 \quad \Rightarrow \quad a = 0.5 \] \textbf{ג.} נציב $a=0.5$: מרכז המעגל $M(8, 0)$ והרדיוס $R = 12.5$. משוואת המעגל: $(x - 8)^2 + y^2 = 156.25$. אמצע הקטע $AB$ הוא $M(8,0)$, והוא המוקד של פרבולה קנונית $y^2 = 2px$. מוקד הפרבולה הוא ב-$(\frac{p}{2}, 0)$, ולכן $\frac{p}{2} = 8 \implies p = 16$. משוואת הפרבולה היא $y^2 = 32x$. נמצא את חיתוך המעגל והפרבולה: נציב $y^2 = 32x$ במשוואת המעגל: \[ (x - 8)^2 + 32x = 156.25 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 16x + 64 + 32x = 156.25 \] \[ x^2 + 16x - 92.25 = 0 \] נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל $x_1 = 4.5$ ו- $x_2 = -20.5$. מכיוון שעל הפרבולה $x \ge 0$, אזי $x = 4.5$. נמצא את $y$ (ברביע הראשון, $y>0$): $y^2 = 32(4.5) = 144 \implies y = 12$. לכן, $C(4.5, 12)$. \textbf{ד.} הישר $l$ משיק לפרבולה $y^2=32x$ בנקודה $C(4.5, 12)$. משוואת המשיק לפרבולה: $y \cdot y_0 = p(x + x_0)$. \[ 12y = 16(x + 4.5) \quad \Rightarrow \quad 12y = 16x + 72 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{3}x + 6 \] לכן, משוואת הישר $l$ היא $4x - 3y + 18 = 0$. משיק למעגל המקביל לישר $l$ הוא בעל אותו שיפוע $\frac{4}{3}$. נסמן את משוואתו: $4x - 3y + c = 0$. המרחק ממרכז המעגל $(8,0)$ למשיק שווה לרדיוס $R = 12.5$: \[ \frac{|4(8) - 3(0) + c|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 12.5 \quad \Rightarrow \quad \frac{|32 + c|}{5} = 12.5 \quad \Rightarrow \quad |32 + c| = 62.5 \] מכאן שתי אפשרויות ל-$c$: 1) $32 + c = 62.5 \implies c = 30.5$. המשיק הוא $4x - 3y + 30.5 = 0$. 2) $32 + c = -62.5 \implies c = -94.5$. המשיק הוא $4x - 3y - 94.5 = 0$. המרחק $d$ בין הישר $l$ ($4x - 3y + 18 = 0$) למשיקים: אפשרות 1: $d_1 = \frac{|18 - 30.5|}{5} = \frac{12.5}{5} = 2.5$. אפשרות 2: $d_2 = \frac{|18 - (-94.5)|}{5} = \frac{112.5}{5} = 22.5$. \newpage % ========================================== % תרגיל מספר 2 % ========================================== \section*{שאלה $2$} בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$. נסמן $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ ו- $\overrightarrow{AC} = \underline{v}$. נתון כי $|\underline{u}| = |\underline{v}|$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הוכיחו כי $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל- $\overrightarrow{BC}$. \end{enumerate} נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$. $A(0,0,0)$, $B(6,8,0)$. הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$, ושיעור ה- $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו- $S$. \end{enumerate} הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$, וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$. \begin{enumerate}[label=(\textbf{\arabic*}), itemsep=0.2cm, leftmargin=*] \item מצאו הצגה פרמטרית של הישר $FM$. \item מצאו את שיעורי הנקודה $M$. \end{enumerate} \item מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה $MABC$ מנפח הפירמידה $FAEC$. נמקו את תשובתכם. \end{enumerate} \newpage \subsection*{פתרון תרגיל 2} \textbf{א.} מכיוון ש- $|\underline{u}| = |\underline{v}|$, אורכי הצלעות $AB$ ו-$AC$ שווים, כלומר משולש $ABC$ הוא שווה שוקיים. נתון שהנקודה $E$ היא אמצע הבסיס $BC$. במשולש שווה שוקיים, התיכון לבסיס ($AE$) מתלכד עם הגובה לבסיס. מכאן ש-$AE \perp BC$, ולכן $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל-$\overrightarrow{BC}$. \textbf{ב.} אורך הקטע $AB$ הוא: $|AB| = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2 + 0} = \sqrt{36+64} = 10$. מכיוון ש- $|AB| = |AC|$, אורך $AC$ הוא גם $10$. הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, ולכן שיעוריו הם $C(10, 0, 0)$. הנקודה $E$ היא אמצע $BC$, נמצא את שיעוריה: \[ E\left(\frac{6+10}{2}, \frac{8+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (8, 4, 0) \] $SE$ הוא גובה הפירמידה, כלומר הוא מאונך למישור הבסיס ($xy$). לכן שיעורי ה-$x$ וה-$y$ של $S$ זהים לאלו של $E$. כיוון ששיעור ה-$z$ של $S$ חיובי ואורך $SE$ הוא $16$, שיעור ה-$z$ של $S$ הוא $16$. לכן, $S(8, 4, 16)$. \textbf{ג.} \textbf{(1)} הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ ומקיימת $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$. \[ F = S + \frac{1}{4}(C - S) = \frac{3}{4}S + \frac{1}{4}C = \frac{3}{4}(8,4,16) + \frac{1}{4}(10,0,0) = (6, 3, 12) + (2.5, 0, 0) = (8.5, 3, 12) \] הישר $FM$ מקביל לישר $AC$. וקטור הכיוון של $AC$ הוא $C - A = (10, 0, 0) - (0,0,0) = (10, 0, 0)$, שניתן לצמצם לווקטור כיוון פשוט יותר $(1, 0, 0)$. לכן ההצגה הפרמטרית של הישר $FM$ היא: $\underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)$. \textbf{(2)} הנקודה $M$ היא חיתוך הישר $FM$ עם המישור $ABS$. נמצא את משוואת המישור $ABS$. מישור זה עובר דרך $A(0,0,0)$ ולכן משוואתו מהצורה $ax+by+cz=0$. וקטורי הכיוון שלו הם $\overrightarrow{AB} = (6,8,0)$ ו-$\overrightarrow{AS} = (8,4,16)$. נמצא את הנורמל למישור באמצעות מכפלה וקטורית: \[ \underline{n} = (6,8,0) \times (8,4,16) = (8 \cdot 16 - 0 \cdot 4, 0 \cdot 8 - 6 \cdot 16, 6 \cdot 4 - 8 \cdot 8) = (128, -96, -40) \] נצמצם את הנורמל בחלוקה ל-8: $\underline{n} = (16, -12, -5)$. משוואת המישור היא $16x - 12y - 5z = 0$. נציב את נקודה כללית של הישר $FM$, $M(8.5+t, 3, 12)$, לתוך משוואת המישור: \[ 16(8.5+t) - 12(3) - 5(12) = 0 \quad \Rightarrow \quad 136 + 16t - 36 - 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 16t = -40 \quad \Rightarrow \quad t = -2.5 \] נציב $t = -2.5$ ונמצא את שיעורי $M$: $M(8.5 - 2.5, 3, 12) \implies M(6, 3, 12)$. \textbf{ד.} נחשב את יחס הנפחים. נפח פירמידה $FAEC$: הבסיס הוא משולש $AEC$. מכיוון ש-$E$ אמצע $BC$, השטח של $AEC$ הוא בדיוק מחצית משטח $ABC$. גובה הנקודה $F$ מעל בסיס הפירמידה (מישור $xy$) הוא שיעור ה-$z$ שלה, $z_F = 12$. לכן, $V_{FAEC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\Delta AEC} \cdot 12$. נפח פירמידה $MABC$: הבסיס הוא המשולש המלא $ABC$. גובה הנקודה $M$ מעל הבסיס הוא שיעור ה-$z$ שלה, $z_M = 12$. לכן, $V_{MABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\Delta ABC} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot S_{\Delta AEC}) \cdot 12 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot S_{\Delta AEC} \cdot 12\right) = 2 \cdot V_{FAEC}$. מכאן שנפח הפירמידה $MABC$ גדול \textbf{פי 2} מנפח הפירמידה $FAEC$. \newpage % ========================================== % תרגיל מספר 3 % ========================================== \section*{שאלה $3$} נתון המספר המרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, $r>0$, $90^\circ < \theta < 180^\circ$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item הביעו באמצעות $r$ ו- $\theta$ הצגה קוטבית של המספר $\frac{1}{w}$. \end{enumerate} הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$, והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=2, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $\theta$. \end{enumerate} נתונות שתי משוואות: $\text{I.} \ z^8 = w^8$ ו- $\text{II.} \ z^8 = (w \cdot \overline{w})^4$. $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה $\text{I}$ וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה $\text{II}$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item (1) מצאו כמה קודקודים יש למצולע. (2) האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם. \end{enumerate} נתון כי שטח המצולע הוא $62$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $r$. \end{enumerate} \newpage \subsection*{פתרון תרגיל 3} \textbf{א.} לפי חוקי פעולות בהצגה קוטבית, חלוקת מספרים מרוכבים מתבצעת על ידי חלוקת הרדיוסים וחיסור הזוויות. \[ \frac{1}{w} = \frac{1 \cdot \text{cis}(0^\circ)}{r \cdot \text{cis}(\theta)} = \frac{1}{r} \text{cis}(0^\circ - \theta) = \frac{1}{r} \text{cis}(-\theta) \] \textbf{ב.} הנקודה $A$ נמצאת במרחק $r$ מהראשית ובזווית $\theta$. הנקודה $B$ נמצאת במרחק $\frac{1}{r}$ מהראשית ובזווית $-\theta$. הזווית בין הרדיוסים $OA$ ו-$OB$ היא הפרש הזוויות: $\alpha = \theta - (-\theta) = 2\theta$. שטח משולש מחושב על ידי צלעות וסינוס הזווית ביניהן: $S = \frac{OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha)}{2}$. מכיוון שנתון שזווית $AOB$ חדה, המשמעות היא שהזווית הפנימית של המשולש היא המורכבת ל- $360^\circ$ אם $2\theta > 180^\circ$. לפי הנתון $90^\circ < \theta < 180^\circ$, אזי $180^\circ < 2\theta < 360^\circ$. לכן הזווית החדה היא $\alpha = 360^\circ - 2\theta$. נציב בנוסחת השטח: \[ S = \frac{r \cdot \frac{1}{r} \cdot \sin(360^\circ - 2\theta)}{2} = \frac{1 \cdot (-\sin 2\theta)}{2} = -\frac{1}{2}\sin 2\theta \] נשווה לנתון: \[ -\frac{1}{2}\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin 2\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] הפתרונות למשוואה בתחום האפשרי של $2\theta$ הם $2\theta = 225^\circ$ או $2\theta = 315^\circ$. אם $2\theta = 225^\circ \implies \theta = 112.5^\circ$. הזווית $\alpha = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$ (לא חדה). פסול. אם $2\theta = 315^\circ \implies \theta = 157.5^\circ$. הזווית $\alpha = 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ (חדה). מתאים! לכן, $\theta = 157.5^\circ$. \textbf{ג.} (1) משוואה $\text{II}$: $z^8 = (w \cdot \overline{w})^4$. ידוע כי $w \cdot \overline{w} = r^2$. מכאן $z^8 = (r^2)^4 = r^8$. הפתרונות של משוואה זו הם 8 קודקודים היוצרים מתומן משוכלל ברדיוס $r$, כאשר הזוויות הן $\frac{360^\circ \cdot k}{8} = 45^\circ \cdot k$ ($k=0,1,\dots,7$). משוואה $\text{I}$: $z^8 = w^8$. הפתרונות הם $z_k = w \cdot \text{cis}(45^\circ \cdot k)$. מכיוון ש-$w = r\text{cis}(157.5^\circ)$, הפתרונות הם במרחק $r$ ובזוויות $157.5^\circ + 45^\circ \cdot k$. נבדוק האם יש קודקודים חופפים. הזוויות במשוואה $\text{II}$ הן כפולות של $45^\circ$. הזוויות במשוואה $\text{I}$ מורכבות מכפולה של $45^\circ$ פלוס שארית של $157.5^\circ$. חלוקת $157.5$ ב-$45$ נותנת שארית של $22.5^\circ$ (בדיוק באמצע בין שני פתרונות של משוואה $\text{II}$). לכן אף קודקוד לא מתלכד עם האחר. סך הכל יש $8 + 8 = 16$ קודקודים שונים. (2) כן, כל הקודקודים של משוואה $\text{II}$ הם בעלי רדיוס $|z| = \sqrt[8]{r^8} = r$. כל הקודקודים של משוואה $\text{I}$ הם בעלי רדיוס $|w| = r$. לכן כל ה-16 קודקודים נמצאים על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $r$. \textbf{ד.} המצולע מכיל 16 קודקודים המחולקים שווה בשווה על המעגל (ההפרש בין כל שתי זוויות סמוכות הוא בדיוק $22.5^\circ$). זהו מצולע משוכלל בעל 16 צלעות. שטח של מצולע משוכלל בעל $n$ צלעות החסום במעגל ברדיוס $r$ נתון על ידי $S = n \cdot \frac{r^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})}{2}$. \[ 62 = 16 \cdot \frac{r^2 \sin(22.5^\circ)}{2} = 8 r^2 \sin(22.5^\circ) \] \[ r^2 = \frac{62}{8 \sin(22.5^\circ)} \approx \frac{62}{8 \cdot 0.38268} \approx 20.25 \] \[ r = \sqrt{20.25} = 4.5 \] \newpage % ========================================== % תרגיל מספר 4 % ========================================== \section*{שאלה $4$} נתונה הפונקצייה $f(x) = e^x - \frac{1}{1-e^x}$. הפונקצייה $f(x)$ מוגדרת לכל $x \neq 0$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$. (2) האם לגרף הפונקצייה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם. (3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. \end{enumerate} נתונה הפונקצייה $g(x) = -x + \ln(e^x-1)$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$. (2) הראו כי $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x$ בתחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$. \end{enumerate} בנקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה- $x$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$, על ידי ציר ה- $x$, על ידי האנך ועל ידי הישר $x = \ln(b)$. $b>2$ הוא פרמטר, הביעו את תשובתכם באמצעות $b$. \end{enumerate} נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד' שווה ל- $b - 2 + \ln(1.5)$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=5, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $b$. \end{enumerate} \newpage \subsection*{פתרון תרגיל 4} \textbf{א.} \textbf{(1)} אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס כאשר $1 - e^x = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$. לכן $x=0$ היא אסימפטוטה אנכית. אסימפטוטות אופקיות: נבדוק $x \to \infty$: $e^x \to \infty$, והשבר $\frac{1}{1-e^x} \to 0$. לכן $f(x) \to \infty - 0 = \infty$. אין אסימפטוטה אופקית לכיוון ימין. נבדוק $x \to -\infty$: $e^x \to 0$, והשבר $\frac{1}{1-e^x} \to \frac{1}{1-0} = 1$. לכן $f(x) \to 0 - 1 = -1$. אסימפטוטה אופקית לכיוון שמאל: $y = -1$. \textbf{(2)} נקודות חיתוך עם ציר $y$: נציב $x=0$. אבל הפונקציה לא מוגדרת ב-$x=0$, ולכן אין חיתוך. נקודות חיתוך עם ציר $x$: נשווה לאפס. \[ e^x - \frac{1}{1-e^x} = 0 \quad \Rightarrow \quad e^x(1-e^x) = 1 \quad \Rightarrow \quad e^x - e^{2x} = 1 \quad \Rightarrow \quad e^{2x} - e^x + 1 = 0 \] נבדוק את הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית ($t = e^x$): $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. למשוואה אין פתרון. לכן \textbf{לא}, אין לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים כלל. \textbf{(3)} נגזור את הפונקציה כדי למצוא קיצון: \[ f'(x) = e^x - \frac{-(-e^x)}{(1-e^x)^2} = e^x - \frac{e^x}{(1-e^x)^2} \] נשווה לאפס: \[ e^x \left( 1 - \frac{1}{(1-e^x)^2} \right) = 0 \] מכיוון ש-$e^x \neq 0$, נקבל: \[ 1 = \frac{1}{(1-e^x)^2} \quad \Rightarrow \quad (1-e^x)^2 = 1 \] מכאן יש שתי אפשרויות: א) $1 - e^x = 1 \implies e^x = 0$ (אין פתרון). ב) $1 - e^x = -1 \implies e^x = 2 \implies x = \ln 2$. נציב חזרה כדי למצוא את ה-$y$: \[ f(\ln 2) = e^{\ln 2} - \frac{1}{1-e^{\ln 2}} = 2 - \frac{1}{1-2} = 2 - (-1) = 3 \] כדי לקבוע את הסוג, נבדוק את סימן הנגזרת בסביבת $x = \ln 2$. עבור $0 < x < \ln 2$ (למשל $e^x = 1.5$), הנגזרת שלילית. עבור $x > \ln 2$ (למשל $e^x = 3$), הנגזרת חיובית. לכן הנקודה היא \textbf{מינימום}. שיעוריה: $(\ln 2, 3)$. \textbf{ב.} סקיצה של הפונקציה: \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-2) -- (0,5) node[above] {$y$}; \draw[dashed, thick] (-4,-1) -- (4,-1) node[right] {$y=-1$}; % גרף שמאלי x < 0 \draw[thick] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(-4,-0.9) (-2,-0.8) (-0.5,-0.2) (-0.1, -1.5)}; % גרף ימני x > 0 \draw[thick] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(0.1, 4) (0.3, 3.2) (0.693, 3) (1.5, 3.5) (2.5, 4.5)}; \fill (0.693, 3) circle (2pt) node[below] {$(\ln 2, 3)$}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \textbf{ג.} \textbf{(1)} תחום ההגדרה של $g(x) = -x + \ln(e^x-1)$ נקבע על ידי תוכן הלוגריתם: $e^x - 1 > 0 \implies e^x > 1 \implies x > 0$. \textbf{(2)} נגזור את $g(x)$: \[ g'(x) = -1 + \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{-(e^x-1) + e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^x-1} \] נשים לב כי: \[ f(x) - e^x = \left( e^x - \frac{1}{1-e^x} \right) - e^x = -\frac{1}{1-e^x} = \frac{1}{e^x-1} \] לכן, הראינו כי $g'(x) = f(x) - e^x$. \textbf{ד.} נדרש לחשב את השטח בין גרף $f(x)$ וציר ה-$x$, מגבול תחתון $x = \ln 2$ (האנך מנקודת הקיצון) ועד $x = \ln b$. בתחום זה הפונקציה כולה חיובית מעל ציר ה-$x$. השטח $S$ הוא האינטגרל: \[ S = \int_{\ln 2}^{\ln b} f(x) dx \] לפי סעיף ג', ידוע כי $f(x) = g'(x) + e^x$. נציב זאת: \[ S = \int_{\ln 2}^{\ln b} (g'(x) + e^x) dx = \left[ g(x) + e^x \right]_{\ln 2}^{\ln b} \] נציב את $g(x)$: \[ = \left[ -x + \ln(e^x-1) + e^x \right]_{\ln 2}^{\ln b} \] נציב גבול עליון $x = \ln b$: \[ -\ln b + \ln(e^{\ln b}-1) + e^{\ln b} = -\ln b + \ln(b-1) + b = b + \ln\left(\frac{b-1}{b}\right) \] נציב גבול תחתון $x = \ln 2$: \[ -\ln 2 + \ln(e^{\ln 2}-1) + e^{\ln 2} = -\ln 2 + \ln(1) + 2 = 2 - \ln 2 \] נחסר את הגבול התחתון מהעליון: \[ S = b + \ln\left(\frac{b-1}{b}\right) - (2 - \ln 2) = b - 2 + \ln\left(\frac{b-1}{b}\right) + \ln 2 = b - 2 + \ln\left(\frac{2(b-1)}{b}\right) \] \textbf{ה.} נתון כי השטח שווה ל- $b - 2 + \ln(1.5)$. נשווה: \[ b - 2 + \ln\left(\frac{2(b-1)}{b}\right) = b - 2 + \ln(1.5) \] \[ \frac{2(b-1)}{b} = 1.5 \quad \Rightarrow \quad 2b - 2 = 1.5b \quad \Rightarrow \quad 0.5b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 4 \] \newpage % ========================================== % תרגיל מספר 5 % ========================================== \section*{שאלה $5$} נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{a+\ln x}{x}$, המוגדרת בתחום $x>0$. $a$ הוא פרמטר. בתת-סעיפים (1)-(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$. (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה- $x$. (3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$, וקבעו את סוגה. \item סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. \end{enumerate} נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{x}$ המוגדרת בתחום $x \neq 0$. נתון כי גרף הפונקצייה $f(x)$ וגרף הפונקצייה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x=e^2$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=3, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הערך של $a$. \end{enumerate} הציבו את הערך של $a$ שמצאתם וענו על סעיפים ד'-ה'. נתונה הפונקצייה $h(x)$, המוגדרת בתחום $x>0$. גרף הפונקצייה $h(x)$ עובר בנקודה $(e, -1.5)$. נגזרת הפונקצייה $h(x)$ מקיימת $h'(x) = f(x) - g(x)$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}, start=4, itemsep=0.3cm, leftmargin=*] \item מצאו את הפונקצייה $h(x)$. \item קבעו איזה גרף מבין הגרפים $\text{IV-I}$ (מפורט בסוף המסמך) מייצג את הפונקצייה $|h(x)|$. נמקו את קביעתכם. \end{enumerate} \newpage \subsection*{פתרון תרגיל 5} \textbf{א.} \textbf{(1)} אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב- $x=0$. כאשר $x \to 0^+$, המונה שואף ל- $-\infty$ והמכנה חיובי ושואף ל-$0$. לכן $f(x) \to -\infty$. האסימפטוטה היא $x=0$. אסימפטוטה אופקית: כאשר $x \to \infty$, ה-$x$ במכנה שואף לאינסוף חזק ומהר יותר מפונקציית הלוגריתם שבמונה. לכן השבר כולו שואף ל-0. האסימפטוטה היא $y=0$. \textbf{(2)} נשווה את הפונקציה ל-0: \[ \frac{a+\ln x}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad a + \ln x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = -a \quad \Rightarrow \quad x = e^{-a} \] הנקודה היא $(e^{-a}, 0)$. \textbf{(3)} נגזור למציאת קיצון: \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (a+\ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - a - \ln x}{x^2} \] נשווה ל-0: \[ 1 - a - \ln x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 1-a \quad \Rightarrow \quad x = e^{1-a} \] נבדוק סוג קיצון: המכנה חיובי תמיד. המונה משנה סימן מחיובי לשלילי סביב הנקודה (פונקציה יורדת), לכן זו נקודת \textbf{מקסימום}. נמצא את ה-$y$: \[ f(e^{1-a}) = \frac{a + (1-a)}{e^{1-a}} = \frac{1}{e^{1-a}} = e^{a-1} \] הנקודה היא $\text{max}(e^{1-a}, e^{a-1})$. \textbf{ב.} סקיצה (עבור $a$ כללי): \begin{center} \selectlanguage{english} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-latex] (-1,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[-latex] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$}; \draw[thick] plot[smooth, tension=0.7] coordinates {(0.1, -2.5) (0.5, 0) (1.5, 1.5) (4.5, 0.5)}; \fill (0.5, 0) circle (2pt) node[below right] {$(e^{-a}, 0)$}; \fill (1.5, 1.5) circle (2pt) node[above] {$\text{max}$}; \end{tikzpicture} \selectlanguage{hebrew} \end{center} \textbf{ג.} חיתוך הפונקציות ב-$x=e^2$: \[ f(e^2) = g(e^2) \quad \Rightarrow \quad \frac{a+\ln(e^2)}{e^2} = \frac{1}{e^2} \quad \Rightarrow \quad a+2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] \textbf{ד.} נתון $h'(x) = f(x) - g(x)$. נציב $a=-1$: \[ h'(x) = \frac{-1+\ln x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{\ln x - 2}{x} \] נעשה אינטגרל כדי למצוא את הפונקציה: \[ h(x) = \int \frac{\ln x - 2}{x} dx \] ניתן לרשום זאת כ: $\int (\ln x - 2) \cdot \frac{1}{x} dx$. זוהי פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה. \[ h(x) = \frac{(\ln x)^2}{2} - 2\ln x + C \] נתון שהגרף עובר ב- $(e, -1.5)$. נציב כדי למצוא את $C$: \[ -1.5 = \frac{(\ln e)^2}{2} - 2\ln e + C \quad \Rightarrow \quad -1.5 = \frac{1}{2} - 2 + C \quad \Rightarrow \quad -1.5 = -1.5 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0 \] לכן, $h(x) = \frac{(\ln x)^2}{2} - 2\ln x$. \textbf{ה.} כדי להבין איזה גרף מתאים ל- $|h(x)|$, ננתח את $h(x)$: נקודות חיתוך עם הצירים: $h(x)=0 \implies \frac{1}{2}\ln x (\ln x - 4) = 0$. כלומר $\ln x = 0 \implies x=1$, או $\ln x = 4 \implies x=e^4$. נקודות קיצון: $h'(x)=0 \implies x=e^2$. $h(e^2) = \frac{4}{2} - 4 = -2$ (מינימום). אז $h(x)$ היא מעין "פרבולה" בלוגריתם שחותכת את ציר $x$ ב-1 ו-$e^4$ ויורדת למינוס 2 ביניהם. כאשר נפעיל ערך מוחלט $|h(x)|$, החלק השלילי יתהפך כלפי מעלה. לכן נקודת המינימום ב- $(e^2, -2)$ תהפוך לנקודת מקסימום מקומית ב- $(e^2, 2)$, ובין השורשים הגרף "יקפוץ" למעלה וייצור שני שפיצים ב- $x=1$ וב- $x=e^4$. התנהגות זו מתוארת ב\textbf{גרף $\text{I}$}. \end{document}

2025 - חורף