\documentclass[a4paper,12pt]{article} % --- ספריות לעיצוב העמוד ופוטר --- \usepackage{geometry} \geometry{margin=2cm, bottom=3cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{setspace} \setstretch{1.5} % --- הגדרת צבעים --- \usepackage{xcolor} \definecolor{winered}{RGB}{153, 0, 0} \definecolor{LogoGreen}{RGB}{85, 107, 79} \definecolor{LogoRed}{RGB}{153, 0, 0} % --- הגדרת פוטר --- \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \fancyfoot[C]{\small\color{winered} כל הזכויות שמורות לגיא קורן, אין להעתיק, לצלם או לשכפל, את התרגילים או חלק מהם ללא אישור בכתב} % --- ספריות למתמטיקה וגרפים --- \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} \usetikzlibrary{angles, quotes, calc, intersections} % --- גודל גופן מתמטי --- \DeclareMathSizes{12}{14}{10}{7} % --- ספריות לעברית מודרנית --- \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{hebrew} \setotherlanguage{english} \newfontfamily\hebrewfont[Script=Hebrew]{David CLM} \newfontfamily\hebrewfontsf[Script=Hebrew]{Miriam CLM} \newfontfamily\hebrewfonttt[Script=Hebrew]{Miriam Mono CLM} % --- עיצוב רשימות --- \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate,1]{label=\textbf{\alph*.\,}} \newcommand{\seifIndent}{4.5em} \selectlanguage{hebrew} \begin{document} %========= LOGO =========% \begin{tikzpicture}[remember picture, overlay] \begin{scope}[shift={(current page.north west)}] \begin{scope}[xshift=2.2cm, yshift=-2.2cm, scale=0.1105] \fill[LogoGreen] (0,0) circle (10); \fill[LogoRed] (9.3,7) rectangle (14,11.7); \coordinate (a) at (-0.5, -2.5); \coordinate (b) at (-2, -0.5); \coordinate (c) at (3.6, 3.7); \coordinate (d) at (5.1, 1.7); \fill[white] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle; \coordinate (uvec) at ($(c)-(b)$); \coordinate (vvec) at ($(a)-(b)$); \pgfmathsetmacro{\ux}{5.6} \pgfmathsetmacro{\uy}{4.2} \pgfmathsetmacro{\len}{sqrt(\ux*\ux + \uy*\uy)} \pgfmathsetmacro{\nx}{-\uy/\len} \pgfmathsetmacro{\ny}{\ux/\len} \def\gap{0.3} \def\gapright{0.15} \def\rwTwo{0.8} \def\rwThree{0.64} \def\rwFour{1.4} \coordinate (b2) at ($ (b) - 0.5*(uvec) - \gap*(uvec) - 0.15*(\nx,\ny) $); \coordinate (a2) at ($ (b2) + \rwTwo*(vvec) $); \coordinate (c2) at ($ (b2) + 0.7*(uvec) $); \coordinate (d2) at ($ (a2) + 0.7*(uvec) $); \fill[white] (a2) -- (b2) -- (c2) -- (d2) -- cycle; \coordinate (b3) at ($ (b2) - 0.25*(uvec) - \gap*(uvec) - 0.2*(\nx,\ny) $); \coordinate (a3) at ($ (b3) + \rwThree*(vvec) $); \coordinate (c3) at ($ (b3) + 0.45*(uvec) $); \coordinate (d3) at ($ (a3) + 0.45*(uvec) $); \fill[white] (a3) -- (b3) -- (c3) -- (d3) -- cycle; \coordinate (b4) at ($ (b) + 1.0*(uvec) + \gapright*(uvec) + 0.4*(\nx,\ny) $); \coordinate (a4) at ($ (b4) + \rwFour*(vvec) $); \coordinate (c4) at ($ (b4) + 0.24*(uvec) $); \coordinate (d4) at ($ (a4) + 0.24*(uvec) $); \fill[white] (a4) -- (b4) -- (c4) -- (d4) -- cycle; \node[scale=4, rotate=175, text=white, font=\bfseries] at (-0.5,-6) {$\forall$}; \end{scope} \node[ anchor=north, text=LogoRed, font=\bfseries\footnotesize, align=center, execute at begin node=\setRTL ] at (2.2cm, -3.5cm) { \baselineskip=0pt גיא קורן \\[-0.5em] {\tiny\bfseries מתמטיקה ופיזיקה} }; \end{scope} \end{tikzpicture} \begin{center} \LARGE \textbf{\color{winered} הכנה לכיתה י' - 5 יח"ל - בחינה 1} \\[0.3cm] \large \textbf{אלגברה -- גיאומטריה -- פונקציות} \end{center} \vspace{0.2cm} {\color{winered}\hrule height 1pt} \vspace{0.4cm} % ========================================== % שאלה 1 - אלגברה מורכבת % ========================================== \noindent \textbf{1. ענו על הסעיפים הבאים:} \begin{enumerate}[rightmargin=3em, itemsep=2.5em] % סעיף א': חוקי חזקות (מתוך התמונה) \item פשטו את הביטוי הבא (עד כמה שניתן): \[ {\color{winered} \displaystyle \frac{(-3y^2x^2)^3 \cdot 2x^3 \cdot y^5}{-12y \cdot (-xy)^6} \cdot \left(\frac{y^4}{-2x^2}\right)^{-1}} \] % סעיף ב': צמצום והשלמת ביטוי בשברים (מתוך התמונה) \item השלימו את הביטוי החסר במקום המסומן: \[ {\color{winered} \displaystyle \frac{x^2+2x-3}{9x^2-49} : \frac{x^2-2x+1}{9x-21} \cdot \frac{(\quad\quad\quad)}{3(x+3)} = 1} \] % סעיף ג': משוואת שברים אלגברית (מתוך התמונה) \item פתרו את המשוואה הבאה ורשמו קבוצת הצבה: \[ {\color{winered} \displaystyle \frac{1}{3x^2-48} + \frac{1}{x^2-7x+12} - \frac{1}{7x-21} = 0} \] % סעיף ד': מערכת משוואות לא-ליניארית (מתוך התמונה) \item פתרו את מערכת המשוואות הבאה: \[ \begin{cases} {\color{winered} x \cdot y = -3.5} \\[0.1cm] {\color{winered} (y - 4)(2 + x) = 4.5} \end{cases} \] \end{enumerate} \vspace{0.8cm} % ========================================== % שאלה 2 - גיאומטריה (מלבן וחוצה זווית) % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.6\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{2.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתון מלבן {\color{winered}$ABCD$}. מקודקוד {\color{winered}$C$} העבירו קטע {\color{winered}$CF$} הפוגש את המשך הצלע {\color{winered}$DA$} בנקודה {\color{winered}$F$} וחוצה את זווית {\color{winered}$\sphericalangle BCA$}. \\[0.2cm] א. הוכיחו ש- {\color{winered}$BD = AF$}. \\[0.1cm] נתון: הקטע {\color{winered}$AC$} חוצה את זווית {\color{winered}$\sphericalangle DCF$}. \\[0.1cm] ב. הוכיחו ש- {\color{winered}$CF \perp DB$}. \end{list} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] % Rectangle ABCD coordinates \coordinate (D) at (0,0); \coordinate (A) at (2.5,0); \coordinate (B) at (2.5,4.33); \coordinate (C) at (0,4.33); % Extended line AF \coordinate (F) at (7.5,0); % Intersection G (between CF and BD) \coordinate (G) at (1.875,3.25); % Lines \draw[thick, winered] (C) -- (B) -- (A) -- (D) -- cycle; % Rectangle \draw[thick] (D) -- (F); % Extension DA to F \draw[thick] (C) -- (F); % Line CF \draw[thick] (A) -- (C); % Diagonal AC \draw[thick] (B) -- (D); % Diagonal BD % Points \foreach \p in {A,B,C,D,F,G} { \fill[black] (\p) circle (1.8pt); } % Labels \node[below, font=\small] at (A) {$A$}; \node[above right, font=\small] at (B) {$B$}; \node[above left, font=\small] at (C) {$C$}; \node[below left, font=\small] at (D) {$D$}; \node[below right, font=\small] at (F) {$F$}; \node[above left, font=\small] at (G) {$G$}; \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{3cm} % ========================================== % שאלה 3 - גיאומטריה (מקבילית וריבוע) % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.6\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{3.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונה מקבילית {\color{winered}$ABCD$}. \\ הנקודות {\color{winered}$H$} ו-{\color{winered}$F$} נמצאות על הצלעות {\color{winered}$AB$} ו-{\color{winered}$DC$} בהתאמה, כך ש- {\color{winered}$FD = HB$} ו- {\color{winered}$\sphericalangle AHF = \sphericalangle HFA$} כמתואר. \\[0.2cm] א. הוכיחו ש- {\color{winered}$AC \perp HF$}. \\[0.1cm] העבירו את הקטע {\color{winered}$OK$}, החותך את {\color{winered}$AF$} בנקודה {\color{winered}$K$}, מאונך חוצה לקטע {\color{winered}$AF$}. \\[0.1cm] ב. הוכיחו שמרובע {\color{winered}$AHFC$} הוא ריבוע. \\[0.1cm] ג. נתון ששטחי המשולשים {\color{winered}$\triangle AOF$} ו- {\color{winered}$\triangle AFD$} שווים. \\ \, הוכיחו שמרובע {\color{winered}$OKDF$} הוא מקבילית. \end{list} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.35\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] % Coordinates of Parallelogram ABCD \coordinate (B) at (-1.5,4); \coordinate (A) at (3.5,4); \coordinate (D) at (5,0); \coordinate (C) at (0,0); % Points H and F \coordinate (H) at (0,4); \coordinate (F) at (3.5,0); % Intersection O (center of rectangle AHFC) \coordinate (O) at (1.75,2); % Point K on AF \coordinate (K) at (3.5,2); % Outer Parallelogram ABCD \draw[thick, winered] (B) -- (A) -- (D) -- (C) -- cycle; % Inner Square AHFC & diagonals \draw[thick] (H) -- (F); \draw[thick] (A) -- (C); \draw[thick] (H) -- (C); \draw[thick] (A) -- (F); % Line OK (Dashed) \draw[thick, dashed] (O) -- (K); % Points \foreach \p in {A,B,C,D,H,F,O,K} { \fill[black] (\p) circle (1.8pt); } % Labels \node[above left, font=\small] at (B) {$B$}; \node[above, font=\small] at (H) {$H$}; \node[above right, font=\small] at (A) {$A$}; \node[below right, font=\small] at (D) {$D$}; \node[below, font=\small] at (F) {$F$}; \node[below left, font=\small] at (C) {$C$}; \node[above left, font=\small] at (O) {$O$}; \node[right, font=\small] at (K) {$K$}; \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{0.8cm} \newpage % ========================================== % הגדרת הצבעים % ========================================== \definecolor{winered}{RGB}{153, 0, 0} % אדום לגרף f(x) \definecolor{LogoGreen}{RGB}{85, 107, 79} % ירוק-כהה לגרף g(x) % ========================================== % שאלה 4 - פונקציות (שתי פרבולות) % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.6\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{4.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונות הפונקציות הבאות: \\ $f(x) = x^2 + 5x + 4$, $g(x) = -2x^2 - 8x$ \\[0.1cm] מנקודה {\color{winered}$G$}, נקודת הקודקוד של {\color{LogoGreen}$g(x)$}, העבירו שני ישרים לנקודות החיתוך של {\color{winered}$f(x)$} עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \end{list} % סעיפים \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.\,}, leftmargin=\seifIndent, itemindent=0pt, itemsep=0.3em, topsep=0.4em] \item האם הישר {\color{winered}$y = 4x + 16$} עובר בנקודות {\color{winered}$G$} ו- {\color{winered}$F$}? \item מצאו את משוואת הישר העובר בנקודות {\color{winered}$G$} ו- {\color{winered}$C$}. \item חשבו את שטח המשולש {\color{winered}$FGC$}. \item האם המשולש {\color{winered}$FGC$} הוא שווה-שוקיים? נמקו. \item (1) רשמו את התחום שבו {\color{LogoGreen}$g(x)$} עולה. \\ \, (2) רשמו את התחום שבו {\color{winered}$f(x)$} עולה. \\ \, (3) רשמו את התחום שבו {\color{LogoGreen}$g(x)$} ו- {\color{winered}$f(x)$} עולות. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \begin{list}{}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונה פונקציה נוספת {\color{winered}$h(x) = g(x) + k$}. \end{list} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.\,}, start=6, leftmargin=\seifIndent, itemindent=0pt, itemsep=0.3em, topsep=0.3em] \item קבעו את ערכו של {\color{winered}$k$} בעבורו יש לפונקציה נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- {\color{winered}$x$}. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \begin{list}{}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item נתונה פונקציה נוספת {\color{winered}$d(x) = \frac{1}{2} \cdot g(x)$}. \end{list} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.\,}, start=7, leftmargin=\seifIndent, itemindent=0pt, itemsep=0.3em, topsep=0.3em] \item מהם שעורי נקודת הקודקוד של {\color{winered}$d(x)$}? \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \begin{axis}[ axis lines = middle, xlabel = {$x$}, ylabel = {$y$}, xmin = -5.5, xmax = 1.5, ymin = -3, ymax = 9, ticks = none, enlargelimits = false ] % f(x) = x^2 + 5x + 4 (אדום) \addplot[domain=-5.2:0.6, samples=100, thick, winered] {x^2 + 5*x + 4}; % g(x) = -2x^2 - 8x (ירוק-כהה) \addplot[domain=-4.8:0.8, samples=100, thick, LogoGreen] {-2*x^2 - 8*x}; % Dashed triangle FGC \draw[thick, dashed] (axis cs:-2,8) -- (axis cs:-4,0); \draw[thick, dashed] (axis cs:-2,8) -- (axis cs:-1,0); % Points and labels \node[label={above, font=\small:$G$}, circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:-2,8) {}; \node[label={below left, font=\small:$F$}, circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:-4,0) {}; \node[label={below right, font=\small:$C$}, circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:-1,0) {}; \node[circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:0,0) {}; \node[circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:-0.35,2.25) {}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{0.8cm} % ========================================== % שאלה 6 - חקירת גרף פונקציה (M הפוכה) % ========================================== \noindent \begin{minipage}[t]{0.65\textwidth} \vspace{0pt} \begin{list}{\textbf{5.}}{\setlength{\rightmargin}{0.5em}\setlength{\itemindent}{-0.5em}\setlength{\labelwidth}{0.4em}\setlength{\labelsep}{0.1em}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}} \item בסרטוט שלפניכם נתון גרף של פונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \\ ענו על הסעיפים הבאים על פי הנתונים שבסרטוט: \end{list} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.\,}, leftmargin=\seifIndent, itemindent=0pt, itemsep=0.3em, topsep=0.5em] \item מהם תחומי העלייה והירדה של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}? \item מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}, וקבצו את סוגן. \item מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה {\color{winered}$f(x)$}. \item השלימו מספרים מתאימים במקומות המסומנים (קיימות מספר תשובות אפשריות): \begin{enumerate}[label=(\arabic*), leftmargin=1.5em, itemsep=0.2em, topsep=0.2em] \item {\color{winered}$f(2) < f(\text{\underline{\hspace{0.8cm}}})$} \item {\color{winered}$f(5) < f(\text{\underline{\hspace{0.8cm}}})$} \end{enumerate} \item לאילו ערכי {\color{winered}$k$} הישר {\color{winered}$y = k$} חותך את גרף הפונקציה {\color{winered}$f(x)$} ב-4 נקודות? \item נתונה פונקציה {\color{winered}$g(x)$} המקיימת: {\color{winered}$g(x) = f(x - 3)$}. \\ מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה {\color{winered}$g(x)$} וקבעו את סוגן. \end{enumerate} \end{minipage}% \hfill \begin{minipage}[t]{0.30\textwidth} \vspace{0pt} \selectlanguage{english} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \begin{axis}[ axis lines = middle, xlabel = {$x$}, ylabel = {$y$}, xmin = -2.5, xmax = 6.5, ymin = -2, ymax = 6.5, xtick = {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}, ytick = {-1,0,1,2,3,4,5,6}, tick label style = {font=\tiny}, enlargelimits = false ] % Polynomial curve: M shape with max at (0,5) and (4,5), min at (2,2) % f(x) = -0.1875*(x-0)^2*(x-4)^2 + 5 \addplot[domain=-1.5:5.5, samples=120, ultra thick, winered] {-0.1875*x^2*(x-4)^2 + 5}; % Dashed reference lines \draw[dashed, thick] (axis cs:0,5) -- (axis cs:4,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:0,0) -- (axis cs:0,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:4,0) -- (axis cs:4,5); \draw[dashed, thick] (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,2); % Extremum points \node[circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:0,5) {}; \node[circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:4,5) {}; \node[circle, fill=black, inner sep=1.8pt] at (axis cs:2,2) {}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \selectlanguage{hebrew} \end{minipage} \vspace{0.8cm} \newpage % ========================================== % תשובות סופיות - בחינה 2 % ========================================== \begin{center} \Large \textbf{\color{winered} תשובות סופיות -- בחינה 2} \end{center} \vspace{0.3cm} \noindent \textbf{שאלה 1:} \\ א. **פישוט הביטוי:** * מביאים לכללי חזקות: $\frac{-27 y^6 x^6 \cdot 2 x^3 y^5}{-12 y \cdot x^6 y^6} \cdot \left(\frac{-2x^2}{y^4}\right) = \frac{-54 x^9 y^{11}}{-12 x^6 y^7} \cdot \frac{-2x^2}{y^4} = \frac{9}{2} x^3 y^4 \cdot \frac{-2x^2}{y^4} = {\color{winered}-9x^5}$. \\[0.1cm] ב. **הביטוי החסר:** * מפרקים לגורמים: $\frac{(x+3)(x-1)}{(3x-7)(3x+7)} \cdot \frac{3(3x-7)}{(x-1)^2} \cdot \frac{(\quad)}{3(x+3)} = 1 \implies \frac{3}{(3x+7)(x-1)} \cdot \frac{(\quad)}{3} = 1$. * הביטוי החסר הוא: {\color{winered}$(3x+7)(x-1) = 3x^2 + 4x - 7$}. \\[0.1cm] ג. **משוואת שברים:** * קבוצת הצבה: {\color{winered}$x \neq \pm 4, \, x \neq 3$}. * פירוק לגורמים: $\frac{1}{3(x-4)(x+4)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)} - \frac{1}{7(x-3)} = 0$. * מכנה משותף $21(x-4)(x+4)(x-3)$ מוביל למשוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם: {\color{winered}$x_1 = 6, \quad x_2 = -2.875$} (או $x_2 = -\frac{23}{8}$). \\[0.1cm] ד. **מערכת משוואות:** * פותחים סוגריים במשוואה השנייה: $y \cdot x + 2y - 4x - 8 = 4.5$. * מציבים $xy = -3.5$: $-3.5 + 2y - 4x - 8 = 4.5 \implies 2y - 4x = 16 \implies y = 2x + 8$. * הצבה במשוואה הראשונה: $x(2x + 8) = -3.5 \implies 2x^2 + 8x + 3.5 = 0 \implies 4x^2 + 16x + 7 = 0$. * פתרונות: {\color{winered}$(-0.5, 7)$} או {\color{winered}$(-3.5, 1)$}. \vspace{0.4cm} \noindent \textbf{שאלה 2:} \\ משוואה: {\color{winered}$1.5x(x+2) = x(x+4) + 10$} \\ אורכי צלעות המלבן המקורי: {\color{winered}$x = 5$} ס"מ ו- {\color{winered}$9$} ס"מ. \vspace{0.4cm} \noindent \textbf{שאלה 2:} \\ א. משרטוט ומנתונים: {\color{winered}$\sphericalangle BCF = \sphericalangle ACF$}. מכיוון ש- {\color{winered}$BC \parallel DF$}, נובע מרזוויות מתחלפות ש- {\color{winered}$\sphericalangle AFC = \sphericalangle BCF$}. לכן {\color{winered}$\triangle CAF$} שווה-שוקיים ({\color{winered}$AC = AF$}). היות ובמלבן האלכסונים שווים ({\color{winered}$AC = BD$}), נובע מכלל המעבר ש- {\color{winered}$BD = AF$}. \\[0.1cm] ב. מסעיף א' ומנתון חוצה הזווית נובע: {\color{winered}$\sphericalangle DCA = \sphericalangle ACF = \sphericalangle BCF = \alpha$}. היות ו- {\color{winered}$\sphericalangle BCD = 90^\circ$}, מתקיים {\color{winered}$3\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 30^\circ$}. במשולש {\color{winered}$\triangle CBG$} (כאשר {\color{winered}$G$} מפגש {\color{winered}$CF$} ו- {\color{winered}$DB$}): {\color{winered}$\sphericalangle BCG = 30^\circ$} ו- {\color{winered}$\sphericalangle CBG = 60^\circ$}. לכן {\color{winered}$\sphericalangle BGC = 90^\circ$}, כלומר {\color{winered}$CF \perp DB$}. \vspace{0.4cm} \noindent \textbf{שאלה 3:} \\ א. מהנתון {\color{winered}$\sphericalangle AHF = \sphericalangle HFA$} נובע ש- {\color{winered}$\triangle AHF$} הוא שווה-שוקיים ({\color{winered}$AH = AF$}). היות ו- {\color{winered}$AB \parallel DC$}, מתקיים {\color{winered}$AH \parallel FC$}. כמו כן, מחיסור קטעים שווים ({\color{winered}$AB - HB = DC - FD$}) נובע {\color{winered}$AH = FC$}. לכן {\color{winered}$AHFC$} הוא מקבילית, ומכיוון ש- {\color{winered}$AH = AF$} היא מעוין. במעוין האלכסונים מאונכים ולכן {\color{winered}$AC \perp HF$}. \\[0.1cm] ב. מכיוון ש- {\color{winered}$OK$} מאונך חוצה ל- {\color{winered}$AF$}, והאלכסון {\color{winered}$HF$} מקביל ל- {\color{winered}$OK$}, נובע ש- {\color{winered}$AF \perp HF$}, כלומר הזווית היא זווית ישרה. מעוין בעל זווית ישרה הוא **ריבוע**. \\[0.1cm] ג. התיכון במרובע ושוויון השטחים מראים כי הקטע {\color{winered}$OK$} מקביל ושווא ל- {\color{winered}$FD$} (מכיוון ש- {\color{winered}$OK \parallel FD$} ו- {\color{winered}$OK = FD$}), ולכן המרובע {\color{winered}$OKDF$} הוא מקבילית. \vspace{0.4cm} \noindent \textbf{שאלה 4:} \\ א. **כן.** נקודות החיתוך של $f(x)$ עם ציר $x$ הן $F(-4,0)$ ו-$C(-1,0)$. קודקוד $g(x)$ הוא $G(-2,8)$. מציבים את השרשרת בישר $y=4x+16$: עבור $F(-4,0) \implies 4(-4)+16=0$ (נכון), עבור $G(-2,8) \implies 4(-2)+16=8$ (נכון). \\[0.1cm] ב. שיפוע הישר $GC$: $m = \frac{8-0}{-2-(-1)} = -8$. משוואת הישר: {\color{winered}$y = -8x - 8$}. \\[0.1cm] ג. אורך הבסיס $FC = |-1 - (-4)| = 3$. גובה המשולש הוא שיעור $y$ של נקודה $G$ ($h=8$). \\ \, {\color{winered}$S_{\triangle FGC} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$} יח"ר. \\[0.1cm] ד. **לא.** מחושבים אורך השוקיים: $FG = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (8-0)^2} = \sqrt{68}$, ו-$GC = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (8-0)^2} = \sqrt{65}$. הצלעות אינן שוות. \\[0.1cm] ה. (1) {\color{LogoGreen}$x < -2$}. \\ \, (2) {\color{winered}$x > -2.5$}. \\ \, (3) איחוד התחומים שבהם שתיהן עולות: {\color{winered}$-2.5 < x < -2$}. \\[0.1cm] ו. נקודת חיתוך יחידה מתקבלת כאשר קודקוד הפרבולה משיק לציר ה-$x$. קודקוד $g(x)$ המקורי הוא ב-$y=8$. כדי להוריד אותו ל-$y=0$, יש לקבוע: {\color{winered}$k = -8$}. \\[0.1cm] ז. כפל בקבוע חיובי אינו משנה את שיעור ה-$x$ של הקודקוד, אלא רק מכפיל את שיעור ה-$y$: {\color{winered}$(-2, 4)$}. \noindent \textbf{שאלה 5:} \\ א. תחומי עלייה: {\color{winered}$x < 0$} או {\color{winered}$2 < x < 4$}. \\ \, תחומי ירידה: {\color{winered}$0 < x < 2$} או {\color{winered}$x > 4$}. \\[0.1cm] ב. מקסימום: {\color{winered}$(0,5)$} ו- {\color{winered}$(4,5)$}. \\ \, מינימום: {\color{winered}$(2,2)$}. \\[0.1cm] ג. חיוביות: {\color{winered}$-1 < x < 5$}. שליליות: {\color{winered}$x < -1$} או {\color{winered}$x > 5$}. \\[0.1cm] ד. (1) כל מספר בתחום העלייה/השיא, למשל {\color{winered}$0$} או {\color{winered}$4$}. \\ \, (2) כל מספר שבו הפונקציה חיובית, למשל {\color{winered}$2$}. \\ \, (3) כל מספר נמוך מ-5, למשל {\color{winered}$2$} או {\color{winered}$6$}. \\[0.1cm] ה. הישר חותך ב-4 נקודות בתחום שבין שיא המינימום לשיא המקסימום: {\color{winered}$2 < k < 5$}. \\[0.1cm] ו. הזזה ימינה ב-3 יחידות ($x+3$): \\ \, מקסימום: {\color{winered}$(3,5)$} ו- {\color{winered}$(7,5)$}. \\ \, מינימום: {\color{winered}$(5,2)$}. \end{document}

משולשים ומרובעים חזרה